Analisis numerico
Páginas: 26 (6289 palabras)
Publicado: 7 de julio de 2011
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas en el plano o en elespacio).
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional así:
[pic]
Un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas, donde aij son números reales, llamados coeficientes del sistema, los valores bm son números reales, llamados términos independientes del sistema, las incógnitas xj son las variables delsistema, y la solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las "m" ecuaciones del sistema.
Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma:
[pic]
MÉTODO DE GAUSS
La eliminación de Gauss-Jordan, más conocida comométodo de Gauss, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada ysiguiendo un cierto orden algorítmico.
Tomemos como ejemplo el siguiente sistema:
[pic]
Su matriz aumentada será esta:
[pic]
En primer lugar, reducimos la incógnita [pic], sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por [pic], y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así:
[pic]
El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita [pic]en la primera y tercera fila,para lo cual les sumamos la segunda multiplicada por [pic]y por [pic], respectivamente.
[pic]
Por último, eliminamos la [pic], tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la tercera multiplicada por [pic]y por [pic], respectivamente:
[pic]
Llegados a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:
[pic]
O, si lo preferimos, podemos multiplicar lastres filas de la matriz por: [pic], [pic]y [pic]respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última columna.
[pic]
SISTEMAS DE 3 ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS (Resolver sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas)
Transformamos un sistema de 3 ecuaciones lineales en un sistema escalonado.
[pic]
Pasos:
1. Suprimimos la x de la segundaecuación, reduciéndola con la primera. Multiplicamos la 1era por (-3) y sumamos las dos. Obtenemos la segunda ecuación ya sin x.
[pic]
2. Suprimimos la x de la tercera ecuación reduciéndola con la primera. Multiplicamos la 1era por (-2) y sumamos las dos. Obtenemos la tercera ecuación ya sin x.
[pic]
3. Escribimos el sistema obtenido
[pic]
4. Eliminamos la y de la primerareduciéndola con la segunda. Obtenemos la tercera ecuación ya sin y.
[pic]
5. Con el sistema escalonado obtenemos las soluciones
[pic]
[pic]
6. Comprobando las soluciones. Sustituimos los valores obtenidos en el sistema original y vemos si se cumplen las tres ecuaciones.
ELIMINACIÓN POR MÉTODO GAUSS JORDAN
En matemáticas, la eliminación Gaussiana, eliminación de Gauss oeliminación de Gauss-Jordan, llamadas así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, son algoritmos del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene...
Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas en el plano o en elespacio).
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional así:
[pic]
Un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas, donde aij son números reales, llamados coeficientes del sistema, los valores bm son números reales, llamados términos independientes del sistema, las incógnitas xj son las variables delsistema, y la solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las "m" ecuaciones del sistema.
Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma:
[pic]
MÉTODO DE GAUSS
La eliminación de Gauss-Jordan, más conocida comométodo de Gauss, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada ysiguiendo un cierto orden algorítmico.
Tomemos como ejemplo el siguiente sistema:
[pic]
Su matriz aumentada será esta:
[pic]
En primer lugar, reducimos la incógnita [pic], sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por [pic], y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así:
[pic]
El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita [pic]en la primera y tercera fila,para lo cual les sumamos la segunda multiplicada por [pic]y por [pic], respectivamente.
[pic]
Por último, eliminamos la [pic], tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la tercera multiplicada por [pic]y por [pic], respectivamente:
[pic]
Llegados a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:
[pic]
O, si lo preferimos, podemos multiplicar lastres filas de la matriz por: [pic], [pic]y [pic]respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última columna.
[pic]
SISTEMAS DE 3 ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS (Resolver sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas)
Transformamos un sistema de 3 ecuaciones lineales en un sistema escalonado.
[pic]
Pasos:
1. Suprimimos la x de la segundaecuación, reduciéndola con la primera. Multiplicamos la 1era por (-3) y sumamos las dos. Obtenemos la segunda ecuación ya sin x.
[pic]
2. Suprimimos la x de la tercera ecuación reduciéndola con la primera. Multiplicamos la 1era por (-2) y sumamos las dos. Obtenemos la tercera ecuación ya sin x.
[pic]
3. Escribimos el sistema obtenido
[pic]
4. Eliminamos la y de la primerareduciéndola con la segunda. Obtenemos la tercera ecuación ya sin y.
[pic]
5. Con el sistema escalonado obtenemos las soluciones
[pic]
[pic]
6. Comprobando las soluciones. Sustituimos los valores obtenidos en el sistema original y vemos si se cumplen las tres ecuaciones.
ELIMINACIÓN POR MÉTODO GAUSS JORDAN
En matemáticas, la eliminación Gaussiana, eliminación de Gauss oeliminación de Gauss-Jordan, llamadas así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, son algoritmos del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene...
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