Analisis numerico

Método de la Regla Falsa:
Aunque el método de bisección es una técnica perfectamente valida para determinar raíces, su enfoque es relativamente ineficiente. Una alternativa mejorada es la del método de la regla falsa que está basado en una idea para aproximarse en forma más eficiente a la raíz. 
Un defecto del método de bisección es que al dividir el intervalo x1 a x2 en mitades iguales,no se toma en consideración la magnitud de f(x1) y de f(x2). Por ejemplo, si f(x1) está mucho más cerca de cero que f(x2), es lógico que la raíz se encuentre más cerca de x1 que de x2. Este método alternativo aprovecha la idea de unir los puntos con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje x proporciona una mejor estimación de la raíz. 
El reemplazamiento de la curva por unalínea recta da una "posición falsa" de la raíz, de aquí el nombre de método de la regla falsa o en latín, regula falsa. También se le conoce como método de la interpolación lineal. 
Con el uso de triángulos semejantes, la intersección de la línea recta y el eje x se puede calcular de la siguiente manera: 
f(x1) / xr - x1 = f(x2) / xr – x2
Que se puede resolver para: 
4.4 xr = x2 - f(x2) (x1– x2) / f(x1) - f(x2)
Esta es la formula de la regla falsa. El valor de xr, calculado con la ecuación 4.4, reemplaza a uno sé los dos valores, x1 o a x2 que produzca un valor de la función que tenga el mismo signo de f(xr). 
De esta manera, los valores x1 y x2 siempre encierran a la raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada. 
✓ Criterios de paro oestimación de errores.

Ahora se debe desarrollar un criterio objetivo para decidir cuando debe terminar el método, una sugerencia inicial puede ser que terminen los cálculos cuando el error se encuentre por debajo de algún nivel prefijado. 
Puede decidirse que el método termine cuando se alcance un error relativamente bajo, por ejemplo del 0.1%. 
Esta estrategia es inconveniente ya quela estimación del error se basa en el conocimiento del valor exacto de la raíz de la función. Este no es el caso de una situación real ya que no habría motivo para usar el método si ya se supiese la raíz. 
Por lo tanto, se requiere estimar el error de manera tal que no incluya el conocimiento de la raíz.

1. Método de la Secante.

En análisis numérico el método de la secante es un métodopara encontrar los ceros de una función de forma iterativa. Es un método de tipo abierto, el cual requiere de dos puntos iníciales, los cuales pueden ser arbitrarios. Lo que hace básicamente, es trazar rectas secantes a la curva de la ecuación que se está analizando, y verificar la intersección de dichas rectas con el eje de las X para conocer si es la raíz que se busca. Al ser un método abierto,converge con la raíz con una velocidad semejante a la de Newton-Raphson, aunque de igual forma corre el riesgo de no converger con esta nunca. Su principal diferencia con el método de Newton-Raphson es que no se requiere obtener la derivada de la función para realizar las aproximaciones, lo cual facilita las cosas al momento de crear un código para encontrar raíces por medio de este método.Consideremos la curva y=f(x), y la recta que pasa por los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)). Si la función continua y=f(x) es tal que f(x)=0 posee una única raíz a en el intervalo (a,b), y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, la cuerda AB cortará al eje OX en un punto X1 del intervalo (a,b), que junto con A ó B formará el nuevo intervalo (a1,b1).
El método de la secante consiste en ir aproximando elvalor de la raíz buscada a mediante las sucesivas intersecciones con el eje OX de la cuerda que une dos puntos cuyas ordenadas son de signos distintos.
Este método, a diferencia del de bisección y regla falsa, casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando.
Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva...