Analisis Numerico

Fórmulas de Newton–Cotes
En análisis numérico las fórmulas de Newton-Cotes (nombradas así por Isaac Newton y Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un valor aproximado de la integral. Cuantos más intervalos se divida la función más preciso será el resultado.
Este método eseficiente si se conocen los valores de la función en puntos igualmente separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función es evaluada otros métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente más eficientes.
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Para la integración numérica de utilizando las fórmulas de Newton-Cotes se subdivide el intervalo en intervalos iguales. Así se obtienen puntos donde se evaluarála función:

Si y se denominan fórmulas cerradas de Newton-Cotes ya que los intervalos de los extremos están incluidos en la integral, si por el contrario no se tienen en cuenta se denominan fórmulas abiertas de Newton-Cotes. Para el cálculo se utilizará la siguiente función:

donde:

es el polinomio de Lagrange, por lo tanto se deduce que

Esta función se expresa de la siguiente formaDonde los "pesos" wi están definidos por

Fórmulas cerradas de Newton-Cotes

Estas son algunas de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes.
La notación es una abreviatura de , con   ,     y   el grado.

Regla del trapecio.

Ilustración de la regla del trapecio.

La regla del trapecio consiste en hallar la integral aproximada de una función a través de un polinomio de primer grado, es deciruniendo mediante una recta los puntos en donde se evaluara la función.

Y el error es:

Siendo un número entre a y b.

Regla de Simpson.

Ilustración de la regla de Simpson.
La regla de Simpson (nombrada así por Thomas Simpson) halla la integral aproximada de una función mediante un polinomio de segundo o tercer grado.
Regla de Simpson 1/3
La regla de Simpson 1/3 utiliza tres puntosconsecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de segundo grado.

Y el error es:

siendo un número entre a y b.
Regla de Simpson 3/8
La regla de Simpson 3/8 utiliza cuatro puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de tercer grado.
.
Y el error es:

Siendo un número entre a y b.

Fórmulas abiertas de Newton-Cotes
Estas son algunas delas fórmulas abiertas de Newton-Cotes.
Regla del punto medio

Ilustración de la regla del punto medio.
En este método se divide la función en rectángulos, los cuales deben tener una altura igual al valor de la función en el punto medio. Así se calcularía la integral aproximada mediante un polinomio de grado cero.

Y el error es:

Siendo un número entre a y b.

MÉTODO DE INTEGRACIÓN DEROMBERG
Sea el valor de la integral que aproxima a , mediante una partición de sub intervalos de longitud h=(b-a)2n y usando la regla del trapecio. Entonces,  h= (b-a)/n
 
Donde es el error de truncamiento que se comete al aplicar la regla. 
El método de extrapolación de Richardson combina dos aproximaciones de integración numérica, para obtener un tercer valor más exacto.
Elalgoritmo más eficiente dentro de éste método, se llama Integración de Romberg, la cual es una fórmula recursiva.
Supongamos que tenemos dos aproximaciones : e  
 
Se puede demostrar que el error que se comete con la regla del trapecio para n subintervalos está dado por las siguientes fórmulas: 
 
 
donde es un promedio de la doble derivada entre ciertos valores que pertenecena cada uno de los subintervalos.
Ahora bien, si suponemos que el valor de es constante, entonces: 

 
Sustituyendo esto último en nuestra primera igualdad, tenemos que: 

 
 
De aquí podemos despejar : 
 
 
En el caso especial cuando (que es el algoritmo de Romberg), tenemos : 
 

Esta fórmula es...