Analisis numerico

Métodos de Integración:

Método de trapecio

Método de trapecio simple:
El método de trapecio se puede definir como el procesamiento de datos que aproxima el área, al área de un trapecio, utilizando solo dos puntos a y b, ubicados bajo las coordenadas (x, y).

El área del rectángulo es b x h y la base es la resta entre los puntos x1-x0 la altura es el punto y1. El área del triánguloes (bxh)/2 la base es la misma que la del rectángulo y la altura es la resta del punto y0-y1. Se factorizan y simplifican las ecuaciones.

La fórmula del trapecio simple es la siguiente:
abfxdx=b-afa+fb2

Características del método de trapecio simple
* El método más simple e intuitivo de integración aproximada es el método de los trapecios.
* Calcula el valor de la función en losbordes del intervalo.
* Solo toma en cuenta una partición, es decir solo calcula un área bajo la curva, obtenido

Ventajas:
* Sencillez óptima para integrales impropias.
* Fácil y sencillo su aprendizaje.
* En el punto de vista estudiantil ayuda a obtener una mejor comprensión de la finalidad de los métodos de integración.

Desventajas:
* No es un método fiable
*Únicamente toma en cuenta un subintervalo bajo la curva, lo cual nos da una precisión muy poco óptima, es decir el valor que arroje el cálculo de la integral será menor al valor real del área.
* El método de los trapecios no es preciso en su resultado porque no es adecuado aproximar la curva por líneas rectas

Gráfica del trapecio simple

Interpretación de la gráfica:
1. Se trazan doslíneas rectas verticales en el plano (x,y) , obteniendo así un subintervalo del trapezoide, denotado en el grafico como h que va desde a hasta b.
2. Se observa como esas líneas rectas verticales, se intersectan con la curva del plano, justo en el punto de intersección se van a unir mediante una línea recta, que es la integral que corresponde al área debajo de dicha recta en el intervalo [a,b].3. El Trapezoide que se forma debajo de la unión de los puntos interceptados con la curva, representado en la gráfica de color gris, es precisamente el área que se quiere calcular.
4. Se evalúan (“a “y “b”) en la función f(x), que sería obtener los puntos interceptados con la curva f(a) y f(b) y luego se hace el cálculo determinando el área mediante la formulaMétodo de trapecio compuesto:
Aproxima el área de la función bajo la curva a la sumatoria de las áreas de un número finito de subintervalos que forman los trapecios. Es decir subdivide el área bajo la curva en trapecios, y la suma de las áreas de dichos trapecios lo toma como la integral definida entre a y b de esa función.

Fórmula:abfxdx=h2[fa+2fa+h+2fa+2h+ ….…+fb]

Características de trapecio compuesto

* El método del Trapecio compuesto consiste en aplicar la regla del Trapecio simple a cada intervalo [a, b].
* Es un método muy simple e intuitivo de integración aproximada .En el que se sustituye la función o la curva por varias cuerdas que unen los extremos de las ordenadas (también se puede decir que se sustituye en cada tramo porun polinomio de primer grado). Es evidente que se conseguirá mayor precisión en la medida en que tengamos un número mayor de ordenadas y por consiguiente de cuerdas, pues la adaptación de las cuerdas a la función
* Divide la distancia (a , b) en N subintervalos o segmentos y aproxima a cada uno por un polinomio de primer grado, luego aplica la formula trapezoidal para cada intervalo y seobtiene el área de cada trapezoide que componen la curva, de tal modo que la suma de todas ellas da la aproximación del área bajo la curva f(x).
Ventajas:
* Sencillez optima para integrales impropias.
* Es un poco más eficaz que el método de trapecio simple, ya que se aproxima un poco más al resultado real, pero no del todo
* No posee ninguna condición

Desventajas:
* Necesita...