analisis numerico


UNIVERSIDAD CENTRAL DEL EUADOR

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA
ANÁLISIS NUMÉRICO

JACOBI, GAUSS SEIDEL Y ROTACIÓN DE FUNCIONES







INTEGRANTES

ARIAS BASANTES JAIME PAUL
GALLESGOS SANCHEZ JULLIAN AGUSTIN

FECHA: 12/05/2014

MÉTODO DE JACOBI
El método de Jacobi consiste en realizar una secuencia de transformaciones ortogonales, cada transformación se denomina “rotaciónde Jacobi”; y corresponde a una rotación cuyo objetivo es eliminar a un elemento de la matriz. Se va rotando sucesivamente la matriz hasta que el error es pequeño para ser considerada una matriz diagonal. Un concepto fundamental de este método es que, al rotar la matriz para eliminar un elemento que ya sea cero, se modifican varios elementos situados en la fila y la columna del elemento que serota, que podían valer cero y hasta haber rotado con anterioridad.
Cada vez que se rota un elemento, todos los elementos que se insertan son función de la cantidad que se elimina ponderada por una función trigonométrica, por lo que el valor absoluto de los elementos distintos de la diagonal se reduce hasta que se considera que son cero. La composición de las rotaciones genera auto vectores, endonde los elementos de la diagonal principal corresponden al auto valores.
Supóngase que se tiene un sistema (3x3) de ecuaciones. Si los elementos de la diagonal no son todos cero, la primera ecuación se resuelve para x1, la segunda para x2 y la tercera para x3.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo. La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema  en la forma siguiente:Donde
, es una matriz diagonal.
, es una matriz triangular inferior.
, es una matriz triangular superior.
Partiendo de, podemos reescribir dicha ecuación como:

Luego,

Si aii ≠ 0 para cada i. Por la regla iterativa, la definición del Método de Jacobi puede ser expresado de la forma:

Donde  es el contador de iteración, Finalmente tenemos:

Cabe destacar que al calcular xi(k+1) senecesitan todos los elementos en x(k), excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al contrario que en el método Gauss-Seidel, no se puede sobrescribir xi(k) con xi(k+1), ya que su valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La cantidad mínima de almacenamiento es de dos vectores de dimensión n, y seránecesario realizar un copiado explícito.
(Nota: las siguientes van en un orden de modo que si se cumple una de las condiciones, comenzando por la primera por supuesto, la evaluación de las siguientes no es necesario realizarlas):
La matriz sea estrictamente dominante diagonalmente por filas (E.D.D. por filas), es decir,
Para toda i desde 1 hasta n que es el tamaño de la matriz A:

Es decir,el elemento de la diagonal correspondiente a la fila i debe ser mayor a la suma de los elementos de esa fila i.
A partir de la siguiente identidad:

Donde D corresponde a la matriz formada por los elementos de la diagonal de A (D=diag(a11, a22, ..., ann)), -L corresponde a la matriz triangular inferior obtenida de la parte triangular estrictamente inferior de A, y -U corresponde a lamatriz triangular superior obtenida de la parte triangular estrictamente superior de A, se puede deducir la fórmula vectorial de este método:

De donde BJ (conocida como la matriz de iteración de Jacobi) es D-1
(L+U). Para que el método de Jacobi converja hacia una solución, Para una norma matricial inducida. ρ(BJ), que corresponde al máximo de los valores absolutos de las raíces de la ecuacióncaracterística de la matriz BJ (det(BJ - λI)) es menor que 1.
El método de Jacobi es el método iterativo más elemental; ya que el proceso se repite tantas veces hasta llegar a una tolerancia
El método de Jacobi siempre converge si la matriz A es estrictamente diagonal dominante y puede converger incluso si esta condición no se satisface.
Para verificar la convergencia del método se calcula...