Analisis Numerico

INTRODUCCIÓN


La mayoría de los textos de análisis numérico en el estudio de sistemas de ecuaciones no lineales sólo hace un tratamiento para dos variables y se evita el caso de más de dos variables para la deducción del método. Presentamos una alternativa metodológica y pedagógica para hacer menos difícil la comprensión de éste. La metodología es un resultado de la experiencia docente.

Elmétodo de Newton-Raphson es un método iterativo que nos permite
aproximar la solución de una ecuación del tipo f(x) = 0.
Partimos de una estimación inicial de la solución x0 y construimos una
sucesión de aproximaciones de forma recurrente mediante la fórmula
xj+1 = xj −f(xj )f0(xj )
.
Por ejemplo, consideremos la ecuación
ex=1x
.
En este caso es imposible despejar la incógnita, noobstante, si representamos las curvas y = ex, y = 1/x en el intervalo x ∈ [0, 4], es evidente que la ecuación tiene una solución en este intervalo










MÉTODO DE NEWTON RAPSON

Es uno de los métodos más usados en la ingeniería por llegar al resultado del problema planteado de forma más rápida. Se basa en trazar rectas tangentes que “toman la forma” de la función por medio de suprimera derivada.
En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.
El método deNewton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz dependemucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicharecta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.

Definición:

Es un método interactivo para encontrar la raíz de una ecuación no lineal. Puede aplicarse en el dominio complejo para encontrar una raíz compleja, y también puede extenderse a ecuaciones simultáneas nolineales.




APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON


Son muy variadas las aplicaciones del método de Newton. Este método se puede usar para aproximar las soluciones complejas de una ecuación polinomial de grado n ≥ 2. Otra aplicación para destacar está en la solución de problemas de flujos de potencia en ingeniería eléctrica. También se encuentran aplicaciones mecánicasen la solución de ecuaciones que determinan la posición en la dinámica de un mecanismo o sistema.

Para aplicar el método de Newton-Raphson, seguimos los siguientes pasos:

1. Expresamos la ecuación en la forma f(x) = 0, e identificamos la función f . En el ejemplo es
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2. Calculamos la derivada
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3. Construimos la fórmula de recurrencia

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4. Tomamos unaestimación inicial de la solución. En este caso podemos tomar por ejemplo x0 = 1.0, y calculamos las siguientes aproximaciones. Desde el punto de vista práctico, si deseamos aproximar la solución con 6 decimales, podemos detener los cálculos cuando dos aproximaciones consecutivas coincidan hasta el decimal 8. En nuestro caso, obtendríamos

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5. Podemos, entonces, tomar como solución x...