Analisis Numerico

OBJETIVO
Aprender a resolver un sistema de ecuaciones lineal 3x3 empleando el método de Gauss-Jordan, conocer sus aplicaciones y realizar el código para su solución en el programa Matlab.

INTRODUCCIÓN
Este método constituye una variación del método Gauss-Normalizando que recordamos es la normalización de la matriz. Una vez obtenida esta normalización, es decir, una vez que tenemos 0 por debajo de la diagonal principal y aparte nuestra diagonal principal es de unos ( 1 ), aplicamos una eliminación hacia atrás para así obtener una matriz con 0 por debajo y por encima de la diagonal principal y así poder aplicar el método.
Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma: A*X = By permite resolver de 15 a 20 ecuaciones simultaneas, con 8 o 10 dígitossignificativos. Permite relacionar la matriz original con la matriz resultando de ceros y unos, para obtener un sistema equivalente:
1 | + | an12 x2 | +… + | an1n xn | = | bn1 |
0 | | 1 | +… + | a'n2n xn | = | b'n2 |
| | | | | ⁞ | |
0 | | 0 | | 1 | = | b’’nn |



1x1 | | 0 | 0 | = | bn1 |
0 | | 1x2 | 0 | = | b'n2 |
| | | | ⁞ | |
0 | | 0 | 1xn | = | b’’nn |
A partirdel sistema anterior (Gauss-normalizado) se hace una sustitución hacia atrás para obtener el siguiente sistema:







Los valores que se dan en el sistema de ecuaciones son tomados como a11, a12, a13,…etc., y x1, x2 y x3 son las variables que debemos encontrar, ósea que en la aplicación de los procedimientos la x es una guía para saber que queremos encontrar.
DESARROLLO
Teniendoun sistema de ecuaciones con 3 incógnitas como la siguiente:
a11x1 | + | a12x2 | + | a13x3 | = | b1 |
a21x1 | + | a22x2 | + | a23x3 | = | b2 |
a31x1 | + | a32x2 | + | a33x3 | = | b3 |
Se siguen los siguientes pasos.
Tomando en cuenta la ecuación anterior, el procedimiento de la eliminación gauss-normalizando necesitamos como primer lugar de una normalización que es la división de cadauna de los elementos de cada columna del primer renglón entre el elemento pivote en este caso a11x1 y luego una eliminación hacia adelante dejando ceros debajo de la diagonal principal con esto nos queda lo siguiente:
a11x1/ a11 | + | a12x2/ a11 | + | a13x3/ a11 | = | b1/ a11 |
0 | | a’22x2 | + | a’23x3 | = | b’2 |
0 | | a’32x2 | + | a’33x3 | = | b’3 |
a11 x1 | + | a12 x2 | + | a13 x3 |= | b1 |
a21 x1 | + | a22 x2 | + | a23 x3 | = | b2 |
| | | | | | |
a31 x1 | + | a32 x1 | + | a33x3 | = | b3 |

Donde
a’22=a22-((an12)(a21)/(an11)) | a’23=a23-((an13)(a21)/(an11)) |
a’32=an32-((a12)(a31)/(an11)) | a’33=a33-((an13)(a31)/(an11)) |
b’2=b2-((bn1)(a21)/(an11)) | b’3=b3-((bn1)(a31)/(an11)) |
a11 x1 | + | a12 x2 | + | a13 x3 | = | b1 |
a21 x1 | + |a22 x2 | + | a23 x3 | = | b2 |
| | | | | | |
a31 x1 | + | a32 x1 | + | a33x3 | = | b3 |
Las a’y b’ son modificadas, la modificación de las dos primeras incógnitas de la primera columna hicieron que estas se volvieran 0 y así poder reducir el sistema de ecuaciones para eliminar una tercera incógnita se debe modificar dos veces y an y bn son normalizadas, la normalización del primerrenglón hizo que el elemento en pivote se volviera uno haciendo mas fácil la modificación de los siguientes renglones y ahora vamos a normalizar el siguiente renglón lo cual nos queda así:
x1 | + | an12x2 | + | an13x3 | = | bn1 |
0 | | x2 | + | a’23x3 /a’22 | = | b’2 /a’22 |
0 | | 0 | + | a’’33x3 | = | b’’3 |


Donde:
a’’33=a’33-((a’n23)(a’32)/(a’n22)) |b’’23=b’3-((b’n2)(a’32)/(a’n22)) |
Ahora se normaliza el último renglón quedando así:
1x1 | | an12x2 | | an13x3 | = | bn1 |
0 | | 1x2 | | a’23x3 /a’22 | = | b’2 /a’22 |
0 | | 0 | | 1x3 | = | b’’3 /a’’33 |
Donde a11, a22 y a33 tienen un valor de 1
Todo el procedimiento anterior los permitió dejar 0 debajo de diagonal principal donde la diagonal principal es a11,a22y a33 y teniendo esto se redujo para...