analisis Numerico

APROXIMCION NUMÉRICA, ERRORES Y SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES

INTRODUCCION HISTÓRICA DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS
La historia del análisis numérico data de los tiempos antiguos. Los babilonios, 2000 años a. C. compusieron tablas matemáticas. Se ha encontradouna tabilla de barro con los cuadrados enteros del 1 al 30. Los babilonios adoraban los cuerpos celestes yelaboraban efemérides 2 astronómicas. El famoso astrónomo alejandrino Claudio Ptolomeo (aprox 150 d. C.) poseía unas efemérides babilónicas de ecplises que databan del año 747 a. C.

Arquímides, en el año 220 a. C., usó los polígonos regulares como aproximaciones del círculo y dedujo las desigualdades 310/71< π <31/7. El trabajo de cálculo numérico desde entonces hasta el siglo XVII fue centradorinicpalmente en la preparación de tablas astronómicas. El advenimiento del álgebra en el siglo XVI produjo una renovada actividad en todas las ramas de la Matemática, incluyendo el análisis numérico. En 1614, Neper publicó la primera tabla de logaritmos, y en 1620, los logartímos de las funciones seno y tangente fueron tabuladas son ciete cifras decimales. Hacia 1628 habían sido calculadas tablas delogarítmos con catorce decimales de los números 1 al 100,000. El cálculo en series empezó a florecer hacia fines del siglo XVII, con el desarrollo del cálculo. A principios del siglo XVIII Jacob Stirling y Brook Taylor sentaron los fundamentos del cálculo de diferencias finitas, que ahora desempeña un papel central en el análisis numérico. Con la predicción de la existencia y la localización delplaneta Neptuno por Adamy Leverrier en 1845, la importancia cinetífica del análisis numérico quedó establecida de una vez y para siempre. A fines del siglo XIX, el empleo de las máquinas de cálculo atomático estimuló más aún el desarrolllo del análisis numérico. Tal desarrollo ha sido explosivo desde la terminación de la Segunda Guerra Mundial a causa del progreso en las máquinas de cálculoelectrónicas de alta velocidad. La
s nuevas máquinas han hacho posibles gran número de importantes logros científicos que antes parecían inaccesibles. El arte de calcular, que es distinto a la ciencia del cálculo, se basa en cálculos numéricos presisos y detallados por lo que también toma en cuenta precisión y exactitud así como los errores y la comprobación de los resultados. [Apostol, 695 y 696].DEFINIMIENTO DE METODOS NUMERICOS Y SU NECESIDAD
•“Son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas” [Chapra]
•Los métodos numéricos se utilizan para:
• Solución de sistemas de ecuaciones lineales
• Solución de ecuaciones no lineales y trascendentales
• Encontrar un valor por medio de tablas: interpolación• Encontrar un comportamiento (un modelo) a partir de datos ajustando una curva: ajuste de curvas
• Integración numérica de una función
• Solución numérica de ecuaciones diferenciales

Conceptos de aproximación Numerica y Error
El error de aproximación o error numérico es una medida del ajuste o cálculo de una magnitud con respecto al valor real o teórico que dicha magnitud tiene. Un aspectoimportante de los errores de aproximación es su estabilidad numérica. Dicha estabilidad se refiere a cómo dentro de un algoritmo de análisis numérico el error de aproximación es propagado dentro del propio algoritmo.
El concepto de error es consustancial con el cálculo numérico. En todos los problemas es fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el grado deaproximación de la solución que se obtiene.
Los errores asociados a todo cálculo numérico tienen su origen en dos grandes factores:
Aquellos que son inherentes a la formulación del problema.

Puede ser positivo, error por exceso, o negativo, error por defecto.

Si [error absoluto] < ε, decimos que ε es una cota de error absoluto. Entonces la ε relativa es:

Los que son consecuencia del método...