Analisis

II. ESPACIOS NORMADOS Y ESPACIOS DE BANACH

Se pretende en este cap´ ıtulo establecer los resultados generales relacionados con el concepto de norma en un espacio vectorial as´ como mostrar las distintas t´cnicas que se aplican en las ı e demostraciones de estos hechos. Ser´ fundamental entender el a concepto de acotaci´n de un operador lineal as´ como su relaci´n o ı o con el de continuidad.SECCIONES 1. Espacios normados. Definici´n y ejemplos. o 2. Desigualdades de H¨lder y Minkowski. o 3. Espacios Lp . 4. Propiedades de los espacios normados. 5. Espacios normados de dimensi´n finita. o 6. Operadores lineales acotados. 7. Funcionales lineales. Espacio dual. 8. Ejercicios.

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´ 1. ESPACIOS NORMADOS. DEFINICION Y EJEMPLOS.

En este cap´ ıtulo consideraremos m´tricas definidasen espacios dotados de e alguna estructura algebraica, m´s concretamente en espacios vectoriales, tal a como se presenta en las aplicaciones que se presentan en esta teor´ ıa. En un espacio vectorial X son de particular importancia las m´tricas que e verifican i) d(x + a, y + a) = d(x, y), es decir, d es invariante por traslaciones, ii) d(αx, αy) = |α| · d(x, y), es decir, d aumentaproporcionalmente a la dilataci´n, o pues basta conocer d(x, 0), ∀x ∈ X para determinar completamente la distancia entre dos elementos cualesquiera, ya que d(x, y) = d(x − y, 0). Definimos entonces la longitud o norma de un vector x por x = d(x, 0). Esto sugiere, en un contexto abstracto, la siguiente definici´n axiom´tica. o a 1.1.- Definici´n. Un espacio normado es un par (X, · ) formado por un o espaciovectorial X y una aplicaci´n · : X → R, llamada norma, con las o siguientes propiedades: (i) x ≥ 0. (ii) x = 0 ⇐⇒ x = 0. (iii) αx = |α| · x . (iv) x + y ≤ x + y (desigualdad triangular). Si no se exige la condici´n (ii), la aplicaci´n · se llama seminorma. o o Observaciones. 1) Todo espacio normado es a su vez un espacio m´trico, e pues basta, dado (X, · ), definir d(x, y) = x − y . As´ todas las nocionesı de espacios m´tricos est´n definidas tambi´n para los espacios normados. e a e En particular, los conjuntos B(0, 1) = {x ∈ X : x < 1}, B(0, 1) = {x ∈ X : x ≤ 1} son las bolas unitarias abierta y cerrada de X, respectivamente. 2) El rec´ ıproco de lo anterior no es cierto, es decir, no todo espacio m´trico e es normado. Por ejemplo, X = {(a1 , . . . an , . . . ) : an ∈ C} sobre el cuerpo C ∞ 1 |ai− bi | es espacio vectorial; si definimos d(x, y) = · , se puede ver i 1 + |a − b | 2 i i i=1 que es espacio m´trico, pero para λ ∈ C, d(λx, λy) = |λ| d(x, y) con lo que, e si defini´ramos la “norma.a partir de la distancia, obtendr´ e ıamos λx−λy = |λ|· x−y y X no ser´ espacio normado de esa forma. Otro ejemplo sencillo ıa 38

es la m´trica discreta pues 2x = d(2x, 0) = 1 pero |2| · x = 2 · d(x,0) = e 2. Sin embargo, la motivaci´n dada al principio permite probar lo siguieno te. 1.2.- Proposici´n. Si (X, · ) es un espacio normado, la aplicaci´n d(x, y) = o o x − y , ∀x, y ∈ X verifica i) d(x + z, y + z) = d(x, y); ii) d(λx, λy) = |λ| · d(x, y). Rec´ ıprocamente, si X es un espacio vectorial y (X, d) es un espacio m´trico e en el que se verifican i) y ii), entonces (X, · ) es un espacionormado, donde x = d(x, 0). La demostraci´n es evidente. o 1.3.- Definici´n. Sea X un espacio vectorial normado, en el que se define o la m´trica d(x, y) = x − y . Si (X, d) es completo, X se dice espacio de e Banach. 1.4.- Ejemplos. 1) X = R ´ C con la norma del valor absoluto son espacios o de Banach. 2) X = Rn ´ Cn con la norma x = ( n |xi |p )1/p ( p ≥ 1) es de Banach. o i=1 Los axiomas i), ii) yiii) de norma son evidentes y la desigualdad triangular se deduce de la desigualdad de Minkowski. Veamos que es completo: Sea {xk = (xk1 , . . . , xkn ), k ∈ N} una sucesi´n de Cauchy en Rn . Entono ces xp − xq < ε, ∀p, q > N =⇒ |xpi − xqi | < ε, ∀p, q > N, 1 ≤ i ≤ n. Esto implica que ∃xi ∈ R : |xki − xi | < ε, 1 ≤ i ≤ n. Si llamamos x = (x1 , . . . , xn ), resulta que xk − x nεp . 3) Sea x p=...