Analisis

U.T.N. F.R.M.
Ingeniería Electrónica

Resumen de
Análisis
matemático I

Autores:
Juan Pablo Martí

UNIDAD I: RELACIONES Y FUNCIONES
Entorno y Entorno Reducido
Entorno:
E (a; δ ) (entorno de centro “a” y radio “δ”)
E (a; δ ) = (a − δ ; a + δ ) = x − a < δ
Entorno Reducido:
E * (a; δ ) = E ′(a; δ ) (no incluye al punto a)

E * (a; δ ) = (a − δ ; a) ∪ (a; a + δ ) = 0 < x − a < δFunciones Par e Impar
Función Par:
f: A→B será par ⇔ ∀x ∈ Domf ⇒ f(x) = f(-x)
Característica Gráfica: Simetría respecto al eje y.
Función Impar:
f: A→B será impar ⇔ ∀x ∈ Domf ⇒ f(x) = -f(-x)
Característica Gráfica: Simetría respecto al origen de coordenadas.

UNIDAD II: LÍMITES Y CONTINUIDAD
Definición rigurosa de límite
Si lím f ( x) = l ⇔ ∀ε > 0; ∃δ (ε ) > 0 /(∀x : x ∈ Domf ∧ 0 < x −a < δ ) ⇒ f ( x) − l < ε
x →a

Propiedad del Sándwich
Si lím f 1 ( x) = l ∧ lím f 2 ( x) = l ∧ ∀x ∈ E (a; δ ) : f 1 ( x) ≤ f 3 ( x) ≤ f 2 ( x) ⇒ lím f 3 ( x) = l
x→a

x→a

x→ a

Algunos límites especiales
lím f ( x) = l

x → ±∞

gr. P(x) = gr. Q(x) ⇒ l = Cociente entre los coeficientes principales de los
re
dos polinomios.
gr. P(x) < gr. Q(x) ⇒ l = 0
gr. P(x) > gr. Q(x) ⇒ l =∞

I.
II.
III.

Infinitésimos
f (x) es un infinitésimo en x = a ⇔ lím f ( x) = 0
x→a

Funciones infinitésimas equivalentes
nciones
senx
tgx
senx
tgx
x
x
= lím
= lím
= lím
= lím
= lím
=1
x →0
x →0 x
x →0 tgx
x →0 senx
x →0 senx
x → 0 tgx
x

lím

Definición de Continuidad
f ( x) es continua en x = a ⇔ en a cumple con las siguientes condiciones:
1. ∃f (a )
2. ∃ límf ( x) = l (único y finito)
x→a

Autores: Juan Pablo Martí

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Resumen de Análisis matemático I

3. l = f (a )

Clasificación de Discontinuidad
Discontinuidad Evitable (aparente):
Cuando no existe f (a ) pero ∃ lím f ( x) = l (único y finito). En ese caso se rearma la
x→a

función con varias reglas para que sea continua. Existe en esta función una LAGUNA.
paraDiscontinuidad No Evitable (no removible):
Cuando no existe f (a ) y no existe l único y finito. En ese caso existe un SALTO, cuyo
valor se obtiene de l d − li , y puede ser finito o infinito.

Continuidad Lateral
Si f ( x) tiene límites laterales distintos en x = a , pero:
1. ∃ lím− f ( x) = l i = f (a ) ⇒ ∃ Continuidad Lateral Izquierda
x→a

2. ∃ lím+ f ( x) = l d = f (a ) ⇒ ∃ Continuidad LateralDerecha
ral
x→a

Álgebra de las funciones continuas
Funciones Continuas en x = a
f ( x) y k ∈ IR
f ( x) y g ( x)
f ( x) y g ( x)
f ( x) y g ( x) ≠ 0
f ( x) y g ( x) (continua en f (a ) )

Autores: Juan Pablo Martí

⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒

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Función continua en x = a
k . f ( x)
f ( x) + g ( x)
f ( x).g ( x)
f ( x)
g ( x)
( gof )( x)

Resumen de Análisis matemático IUNIDAD III: DERIVADAS Y DIFERENCIALES
IFERENCIALES
Recta secante y Recta tangente geométricas

Mtg (pendiente de la tangente) = lím

X → Xo

f ( x) − f ( x 0 )
x − x0

Incremento e incremento de la función
Incremento:
∆x = x − x 0
Incremento de la funció
función:
∆y = f ( x ) − f ( x 0 ) = f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )

Razón de cambio promedio (cociente incremental)
∆y f ( x) − f( x0 ) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
=
=
∆x
x − x0
∆x

Razón de cambio instantánea
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )
∆y
= lím
X → Xo ∆x
∆x → 0
∆x
lím

Definición de derivada
y ' = f ' ( x) =

f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )
dy
∆y
= Df ( x) = lím
= lím
X → Xo ∆x
∆x → 0
dx
∆x

Función derivada
Es la función que nos permite calcular la derivada en un punto en base al valor del
puntoelegido.
Autores: Juan Pablo Martí

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Resumen de Análisis matemático I

Condición: Domf ' ⊆ Domf

Interpretación geométrica de la derivada
Es la pendiente de la recta tangente en el punto.
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
Mtg = f ' ( x) = lím
∆x → 0
∆x

Punto anguloso y cuspidal
Si el cociente incremental no tiene límite único y finito, entonces no existe derivada
mental
única....