Analisis

NOTAS DE ANÁLISIS I
(TOMO 1: CAPÍTULOS 1 – 6 Y APÉNDICE A)

NICOLÁS S. BOTBOL
www.algoritmos.itgo.com
Versión: Mayo de 2005

Notas de Análisis I

Índice

ÍNDICE
1 – Introducción
Conjuntos y relaciones
Naturales, Enteros, Racionales y Reales

7
7
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2 - Generalidades sobre Funciones
Noción de función
Gráfico
Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad
Otrasconsideraciones sobre funciones
Composición de funciones
Función inversa
Funciones especiales

11
11
12
13
15
17
19
22

3 - Números reales
La recta real
Axiomas de cuerpo ordenado
Supremo e ínfimo
Abiertos y cerrados
Densidad de y completitud de

29
29
30
32
35
37

4 - Sucesiones
Término general
Propiedad del límite y convergencia
Álgebra de límites
Indeterminaciones
Sucesionesmonótonas
Subsucesiones y teorema de Bolzano-Weierstrass
Ejemplo importantes (límites especiales)
Sucesiones dadas por recurrencia

43
44
44
49
53
55
56
59
64

5 - Límite de funciones y continuidad
Límites en el infinito
Límites en el punto
Límites a derecha e izquierda
Continuidad
Álgebra de límites y continuidad
Teoremas sobre continuidad
Límites especiales

69
69
7375
79
81
82
87

6 - Derivadas
Definición

89
89

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Notas de Análisis I

Índice

Derivada y recta tangente
Función derivada
Reglas de derivación
Regla de la cadena
Derivabilidad y continuidad
Teoremas del valor medio (Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy)
Consecuencias de los Teoremas del valor medio
Derivada de la función inversa
Derivadas sucesivas
Regla de L´hôpital91
93
93
94
95
96
99
101
101
102

7 - Estudio de funciones
Ceros y puntos críticos
Positivita y negatividad
Crecimiento y decrecimiento
Extremos locales y puntos de inflexión
Asíntotas
Concavidad y convexidad
Construcción de gráficos
Aplicaciones

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8 - Integrales
Noción de área
Sumas de Riemann
La integral definida
Regla de Barrow
Propiedades dela integral definida
Teorema del valor medio
Teorema fundamental del cálculo
Cálculo de primitivas
Métodos de integración
Integrales impropias

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9 - Series
Término general y sumas parciales
Series geométricas y telescópicas
Series de términos no negativos
Series alternadas
Criterios de convergencia de series numéricas
Convergencia absoluta
Series depotencias
Desarrollo de funciones en series de potencias
Series de potencias importantes

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Notas de Análisis I

Índice

Apéndice A (Lógica de primer orden y teoría de conjuntos)
Introducción
Los axiomas
Conceptos básicos teoría de conjuntos y notación
Lógica proposicional y de predicados.
Operaciones con conjuntos
Producto cartesiano, relacionesy funciones

105
105
105
106
107
110
112

Apéndice B (Estructuras algebraicas)
Grupos
Anillos
Cuerpos
Espacios Vectoriales

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Apéndice C (Tópicos de la matemática moderna)
Análisis
Teoría de números
Álgebra
Topología
Geometría

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Notas de Análisis I

Índice

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Notas de Análisis I

1. Introducción

1 - INTRODUCCIÓNConjuntos y relaciones
Comenzaremos definiendo la noción de conjunto, ya que es fundamental
en toda la matemática. No profundizaremos demasiado en este tema ya que sólo
se pretende que el lector tenga los rudimentos básicos para una buena
comprensión del texto específico del libro. Si el lector está interesado en
profundizar en este tema puede remitirse al apéndice B, o consultar la bibliografía.Un conjunto es una colección de objetos bien definidos agrupados por
cierta característica que los distingue del resto, por ejemplo el conjunto de las
mujeres involucra a todos los seres humanos de sexo femenino. El conjuntos de
números pares es aquel que involucra a los números que son divisibles por 2 como
por ejemplo 4, 6, 8, … En general cuando hablemos de conjuntos haremos
referencia a...