Angulo de una recta

ANGULOS DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA.
Si una recta corta al eje X su inclinación es el ángulo que forma con la dirección positiva del eje de X. Se mide partir del eje de X, en sentido contrario al de las manecillas del reloj, de cero a 180°.
Y
R Y
R

0 X 0 X
El ángulo de inclinación de El ángulo de inclinación
la recta R es (agudo) de la recta R es
0° < < 90° (obtusa) 90° < 180°
Y YR
= 180°
R
= 90°
0 X 0
X
La recta R es paralela al eje La recta R es perpendicular
X y no lo corta, por lo tanto al eje X, su ángulo de
no se forma un ángulo inclinado. inclinación vale 90°.
PENDIENTE DE UNA RECTA.
En sentido común el declive de cualquier cosa en su inclinación o pendiente, cuanto es lo que lo que lo sube o baja con respecto a una línea horizontal de referencia.
Pordefinición la pendiente de una recta es igual a la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación.
CONDICIONES DE PARARLELISMO.
Dos o mas rectas son paralelas, si sus inclinaciones y por consiguientes, sus pendientes son iguales, es decir:
Y
m1 = m2
R1 R2 R3 R4
A B C
x
CONDICION DE PERPENDICULARIDAD.
Supongamos que AB BC y que la recta AB forma con el eje X un ángulo igual a 2 y larecta BC forma con el eje X un ángulo igual a 1.
90°
B
2
A
• C
Verifíquese que el cuadrilátero ABCD, cuyos vértices son A(2, 6), B(5, 1), C(-1, -6) y D(-4, -1) es un paralelogramo.
Y A(2, 6)
B (5, 1)
D(-4, -1) X
C(-1, -6)
Solución: por las pendientes de los lados determinamos si la figura es un paralelogramo:
Pendiente de AB
Y2 - y1 1 - 6 5
M = ------- = ------- = - ---
X2 - x1 5- 2 3
Pendiente BC
-6 - 1 -7 7
M = ---------- = ---- = ----
-1 - 5 -6 6
pendiente de CD
-1 -(- 6) 5
m = ---------- = - ---
-4 -(- 1) 3
Pendiente de AD
- 1 - 6 -7 7
M = ---------- = ----- = ----
- 4 - 2 -6 6
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN Y CUYA PENDIENTE ES m.
Fijando en la recta un punto cualquiera P(X, Y) y empleando la formula:
y
M = tan = ---
X
Donde despejandoy ,obtenemos:
Y = mx
Es decir, una ecuación de primer grado respecto a las coordenadas variables de “X” u “Y”.
Y
P(X, Y)
y

0 X X
ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA SIMPLIFICADA.
Sea P(X, Y) un punto cualquiera de la recta B(0, b) el punto donde corta al eje Y y el ángulo que la recta forma con el sentido positivo del eje X. Por la definición de tangente se tiene:
Y - b
Tg = -----
XY P(X, Y)
Y - b

y
x
b
0 X
EJEMPLOS:
1) Determinar el ángulo y la ordenada en el origen de la recta
5x + 2y - 6 = 0.
Solución: despejando a “Y” en la ecuación, obtenemos la ecuación en función de sus pendiente:
5x + 2y - 6 = 0
2y = - 5x + 6
5
y = - --- X + 3
2
De la cual se deduce que el coeficiente angular es: m = - 5/2 y la ordenada al origen b = 3.
Con el valor de m esnegativo, la recta forma un ángulo obtuso tal que:
5
= ángulo. Tang - ---
2
= 180° - 68° 12´ = 179° 60´- 68° 12´
= 111° 48´
Para graficar una recta, bastara con determinar otro punto, esto se logra asignándole un valor arbitrario a x en la ecuación y encontramos y, así:
Si x = 2 obtenemos
5 (2) + 2y - 6 = 0
2y = - 4
4 .
y = - --- . . y = - 2
2
Por lo tanto el punto es P(2, -2)
y
B(0, 3)= 111° 48´
X
P(2, 2)
2) ¿Hay paralelas o perpendiculares entre las rectas representadas por la ecuaciones:
X - 3y + 1 = 0, 2x + 6y + 5 = 0 e -3x - y - 2 = 0
Despejado a Y en las ecuaciones, obtenemos las ecuaciones en funciones de sus pendientes:
X + 1 = 3y 2x + 5 = 6y - y = 3x + 2
2x + 5
x + 1 y = ------ y = - 3x - 2
Y = ------ 6
3 1 5
y = --- x + ---
1 1 3 6
y = --- x + ---
3 3 .1 .
. . m2 = ---- . . m3 = -3
. 1 3
. . m1 = --
3
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
Toda ecuación de primer grado respecto a las coordenadas de (x, y), representa una recta, de forma:
Ax + By + C = 0
Supongamos que B " 0. Resolviendo la ecuación respecto a Y, se tiene:
A C
Y = - --- X - ---
B B
Comparando esta ecuación con la ecuación y = mx + b se tiene:
A
- --- = m = tan
B
C
-...