Angulos Y Triangulos

´ ´ MATEMATICAS BASICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELL´ IN ´ ´ ANGULOS Y TRIANGULOS ´ CONCEPTOS BASICOS Punto, l´ ınea recta y plano: son conceptos que no definimos pero utilizamos su representaci´n gr´fica y los denoo a tamos usando letras may´sculas as´ u ı:

Medida de ´ngulos a Los ´ngulos se miden en grados o en radianes. Este ultimo a ´ t´rmino lo definiremos en el cap´ eıtulo de trigonometr´ ıa. Si el lado OB de un ´ngulo se obtiene al rotar el lado OA, a 1 de una vuelta completa decimos que AOB mide un 360 grado, y lo denotamos 1◦ . Para medir ´ngulos usamos el transportador. a

• Por dos puntos distintos pasa una y s´lo una l´ o ınea recta. • Se dice que tres puntos distintos son colineales si est´n a sobre una misma l´ ınea recta. ´ OTROS CONCEPTOS BASICOS Si Les una l´ ınea recta y A, B son dos puntos sobre ella, podemos hablar tambi´n de la recta AB. e

Un ´ngulo se puede clasificar seg´n su medida as´ a u ı: ´ • Angulo agudo: es el que mide menos de 90◦ . ´ • Angulo recto: es el que mide exactamente 90◦ . ´ • Angulo obtuso: es el que mide m´s de 90◦ y menos a de 180◦ . ´ • Angulo llano: es el que mide 180◦ .

Llamamos segmento AB y rayo AB (o rayoR) a los siguientes conjuntos:

Relaciones entre ´ngulos: a ´ • Angulos congruentes: decimos que dos ´ngulos son a congruentes si tienen la misma medida. Si α y β son congruentes, escribimos α ∼ β =

Los segmentos se miden en unidades de longitud. Decimos que dos segmentos AB y CD son congruentes si tienen la misma longitud y lo denotamos AB ∼ CD. = ´ Angulo: es la uni´n de dos rayos quetienen un extremo o com´n. Cada uno de los rayos se llama lado del ´ngulo y u a al punto com´n se le conoce como v´rtice. u e

´ • Angulos complementarios: decimos que dos a ´ngulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90◦ . ´ • Angulos suplementarios: decimos que dos ´ngulos a son suplementarios si la su suma de sus medidas es 180◦ . ´ • Angulos adyacentes: decimos que dos ´ngulos son aadyacentes si tienen un lado com´n. u Ejemplo: en la siguiente figura, adyacentes y suplementarios. AOC y BOC son

Lo denotamos por AOB ´ por BOA, por una letra griega o α, β, γ, ..., por un n´mero 1, 2, 3, ... ´ por una letra min´scula u o u a, b, c, ... 1

Se dice que dos rectas L1 y L2 en el plano, que tienen un unico punto en com´ n, se intersecan en dicho punto. En ´ u caso contrario, sedice que L1 y L2 son paralelas, y escribimos L1 L2 . En particular, si L1 y L2 tienen todos los puntos comunes son coincidentes. Si dos rectas L1 y L2 se intersecan formando un ´ngulo a recto se dice que son perpendiculares, y en dicho caso escribimos L1 ⊥ L2 .

Soluci´n: o a = 150◦ (porque a es suplemento de b = 30◦ ). c = 30◦ (porque c es opuesto por el v´rtice con b = 30◦ ). e d = 150◦(porque d es el suplemento de b = 30◦ ). e = 150◦ (porque e es correspondiente con a = 150◦ ). f = 30◦ (porque f es correspondiente con b = 30◦ ). g = 30◦ (porque g es alterno externo con b = 30◦ ). h = 150◦ (porque h es alterno externo con a = 150◦ ). Ejercicio: Si L1 y L2 son rectas paralelas y c = 45◦ y m = 60◦ , encuentre la medida de los ´ngulos restantes. a

´ Angulos entre rectas: Cuando dosrectas son intersecadas por una l´ ınea transversal, que llamaremos secante, se forman 8 ´ngulos as´ a ı:

Soluci´n: o a = 60◦ (porque a es alterno externo con m = 60◦ ). b = 75◦ (porque a + b + c = 180◦ , a = 60◦ y c = 45◦ ). d = 60◦ (porque d es opuesto por el v´rtice con a = 60◦ ). e e = 75◦ (porque e es opuesto por el v´rtice con b = 75◦ ). e f = 45◦ (porque f es opuesto por el v´rtice con c =45◦ ). e g = 135◦ (porque g es alterno interno con d + e = 135◦ ). h = 45◦ (porque h es suplemento de g = 135◦ ). i = 135◦ (porque i es opuesto por el v´rtice con g = 135◦ ). e j = 45◦ (porque j es opuesto por el v´rtice con h = 45◦ ). e k = 60◦ (porque k es opuesto por el v´rtice con m = 60◦ ). e l = 120◦ (porque l es suplemento de m = 60◦ ). n = 120◦ (porque n es opuesto por el v´rtice con l...