ANTOLOGIA CALCULO INTEGRAL 97 2003

CALCULO INTEGRAL

Unidad 1
Teorema Fundamental del Cálculo

Unidad 2
Integral Indefinida y Métodos de Integración

Unidad 3
Aplicaciones de la Integral

Unidad 4
Series

L. M. Clemente Hernández Santiago

Página 1

CALCULO INTEGRAL

“Cuando se nos otorga la enseñanza se debe
percibir como un valioso regalo y no como una
dura tarea, aquí esta la diferencia de lo
trascendente”
( Albert Einstein)“ La imaginación es mas importante que el
conocimiento”
( Albert Einstein)

L. M. Clemente Hernández Santiago

Página 2

CALCULO INTEGRAL

CALCULO INTEGRAL

Arquímedes de Siracusa fue el mas grande matemático de la era antigua desde
el siglo V a.C. hasta el siglo II d. C., cuando se sembró la semilla de las
matemáticas modernas, en las comunidades Griegas ubicadas principalmente
a orillas del marMediterráneo. Fue famoso en su tiempo por sus inventos
mecánicos: el llamado tornillo arquimediano, para bombear agua, dispositivos
de palanca y polea(“dadme un punto de apoyo y moveré al mundo”), un
planetario que duplico los movimientos de los cuerpos celestes de manera tan
precisa que mostraba los eclipses del sol y de la luna, y las maquinas de guerra
que aterraron a los soldados romanos en labatalla de Siracusa, durante la cual
fue muerto Arquímedes. Pero se decía que para el mismo Arquímedes, estos
inventos eran simplemente una “distracción de la geometría en juego”; sus
obras se dedicaban a las investigaciones matemáticas.
Arquímedes llevo acabo muchos de los cálculos de área y volumen que ahora
usan calculo integral: desde áreas de círculos, esferas y segmentos de
secciones cónicashasta volúmenes de conos, esferas, elipsoides y
paraboloides. Se había demostrado con anterioridad, en los Elementos de
Euclides, que el área A de un círculo es proporcional al cuadrado de su radio,
de modo que A  r 2 para alguna constante de proporcionalidad. Pero fue
Arquímedes quien aproximo con precisión el valor numérico de  . Euclides
también demostró que el volumen V de una esfera deradio r esta dado por
V  r 3 (  constante), pero fue Arquímedes quien descubrió y demostró que
4

.
3

L. M. Clemente Hernández Santiago

Página 3

CALCULO INTEGRAL

UNIDAD I
TEOREMA FUNDAMENTAL CEL CÁLCULO
1.1 Notación Sumatoria
Empezamos introduciendo una notación concisa para las sumas, que se
denomina notación Sigma debido a que utiliza la letra griega  , la sigma
mayúscula.
DEFINICION:La suma de n términos a1 , a2 , a3,...an se escribe como
n

a
i 1

i

 a1  a 2  a3, ...  a n

Donde i es el índice de la suma, a i es el i-ésimo término de la suma, y los
limites inferior y superior de la suma son 1 y n .
TEOREMA: (Propiedades de Linealidad de  )
Si c es una constante, entonces
1)
2)

n

n

i 1
n

i 1

 cai  c ai
n

n

i 1

i 1

 ai  bi    ai   bi
i 1Ejemplo 1:Exprese en notación desarrollada las siguientes sumas.
6

a)

i  1 2  3  4  5  6
i 1
5

b)

 i  1  2  3  4  5  6
i 1
7

c)

j

2

 32  4 2  5 2  6 2  7 2

j 3

 n k
n

d)

1

2



1 

k 1
n

e)







 f ( x )x  f ( x )x  f ( x
i

i 1



1

2

100
i 1

 2a
i 1

i



)x  ...  f ( xn )x

Ejemplo 2: Supongamos que  ai
100



1 2
1
1
1  1  2 2 1  ...  n 2  1
n
n
n

 60 y

100

b
i 1

i

 11 calcule

 3bi  4

L. M. Clemente Hernández Santiago

Página 4

CALCULO INTEGRAL
SOLUCION:
100

 2a
i 1

100

100

100

100

100

100

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

 3bi  4   2ai   3bi   4  2 ai  3 bi   4  2(60)  3(11)  100(4)  487

i

TEOREMA: Formulas básicas de Suma
n

1)

 c  cn
i 1
n

n(n  1)
2
i 1n
n(n  1)(2n  1)
3)  i 2 
6
i 1

2)

i 

n 2 n  1
4)  i 
4
i 1

2

n

3

n

5)

i4 
i 1

n(n  1)(2n  1)(3n 2  3n  1)
30
n

Ejemplo 3: Encuentre una formula para   j  2 j  5
j 1

SOLUCION:

  j  2 j  5    j 2  3 j  10   j 2  3 j  10
n

n

n

n

n

j 1

j 1

j 1

j 1

j 1



Ejemplo



n(n  1)(2n  1)
n(n  1)
n
3
 10n  2n 2  3n  1  9n...