Análisis de mallas, lagrange

Formulación Euler-Lagrange por análisis de nodos y mallas
Miriam Paloma Reyes Yépez 8 de junio de 2010

Ejercicio 1
Considerando el circuito de la …gura (1)

Figura 1: Análisis de nodosPara realizar el análisis de nodos es necesario de…nir el Laplaciano como: L=U Las coordenadas generalizadas son:
1; 2

T

y

3 3

La restricción debida a la fuente de voltaje en el nodo = Zt0

3

v(t)dt;

)

3

=0

1

Ahora se obtiene la co-energía dada por la energía en los almacenadores de ‡ del sistema: ujo En este caso, el sistema sólo tiene un alamacenador de ‡ ujo,por lo tanto la co-energia queda expresada como: 1 2 C 2 1 Ahora de…nimos la energía en los almacenadores de esfuerzo, para este sistema tenemos el inductor L1; L2 y L3; cuyas energías estánrepresentadas a continuación: U = 1 1 2 ( 3 1) + 2L1 2L2 Por lo que el Lagrangiano del sistema es: T = L = U T 1 L = C 2 1 2
2 2

+

1 2L3

2 1

1 ( L1

3

2 1)

+

1 L2

2 2

+

1 L32 1

La energía en los elemntos almacenadores del sistema es: J= 1 R1
2 2 1

+

1 2R2

2 1

Aplicando al formulación Euler-Lagrange para cada coordenada generalizada. Para
1

d dt 1L3
1

@L @ 1 R1
1

!
2

@L @J = i2(t) + @ 1 @ 1
1

+

( 1) +

1 R2
2

1

= i2(t)

1 1 + R2 R1 Para
2

1

+

1 L3

1

1 R1

= i2(t)

d dt C
2

@L @
2

!@J @L + = i1(t) @ 2 @ 2 1 L2
2

1 ( L1

3

2) (

1) +

+

1 R1

2

1

= i1(t)

2

C Para
3

2

+

1 R1

2

2

1 L1

1 L2

1 R1

1

= i1(t)

3

= v(t)Ejercicio 2
Considerando el circuito de la …gura (2)

Figura 2: Análisis de nodos

Para realizar el naánlisis de nodos es partimos del Laplaiano de…nido como: L=U Las coordenadasgeneralizadas son:
1; 2

T

y

3 3

Restricción debida a la fuente de voltaje en el nodo = Zt
0

3

v(t)dt;

)

3

=0

Ahora se obtiene la co-energía dada por la energía de los elementos...