Análisis de posición de un mecanismo RRRR.

Análisis de posición de un mecanismo RRRR.
Se considerará que el eslabón de entrada del mecanismo es a, y que el eslabón de salida es b. Así, para un valor especificado del ángulo ϕ, nosotros desearemos calcular el valor del ángulo ψ.

Ecuación de cerradura
a〖 e〗^iϕ+b e^iθ+c e^i(ψ+π) +d e^iπ=0, (1)
o bien,
a〖 e〗^iϕ+b e^iθ-c e^iψ=d,(2)
Primer intento
Organizamos la ecuación anterior en una tabla que contenga los números complejos involucrados en forma polar:
Parte real Parte imaginaria
Eslabón “a” a cos⁡ϕ a sin⁡ϕ
Eslabón “b” b cos⁡θ b sin⁡θ
Eslabón “c” -c cos⁡ψ -c sin⁡ψ
Eslabón “d” (resultado) d 0

La tabla anterior expresa una igualdad de 2 números complejos, a saber:(a cos⁡ϕ+b cos⁡θ-c cos⁡ψ )+i(a sin⁡ϕ+b sin⁡θ-c sin⁡ψ )=d+0i. (3)
Si los lados izquierdo y derecho se multiplican por sus conjugados respectivos se tiene:
(a cos⁡ϕ+b cos⁡θ-c cos⁡ψ )^2+(a sin⁡ϕ+b sin⁡θ-c sin⁡ψ )^2=d^2. (4)
Efectuando los cuadrados:
a^2 (cos⁡ϕ )^2+2 a b cos⁡θ cos⁡ϕ-2 a c cos⁡ϕ cos⁡ψ+b^2 (cos⁡θ )^2-2 b c cos⁡〖θ cos⁡ψ 〗+c^2 (cos⁡ψ )^2+a^2 (sin⁡ϕ )^2+2 ab sin⁡θ sin⁡ϕ-2 a c sin⁡ϕ sin⁡ψ+b^2 (sin⁡θ )^2-2 b c sin⁡〖θ sin⁡ψ 〗+c^2 (sin⁡ψ )^2=d^2. (5)
Organizando los términos del lado izquierdo de la ecuación anterior en columnas, de modo que a cada columna corresponda un mismo factor común, y teniendo en cuenta las identidades trigonométricas (cos⁡A )^2+(sin⁡A )^2=1 y cos⁡〖(A±B)=cos⁡〖A cos⁡B∓sin⁡〖A sin⁡B 〗 〗 〗,obtenemos la simplificación mostrada en el tercer renglón de la siguiente tabla:
a^2 (cos⁡ϕ )^2 2 a b cos⁡θ cos⁡ϕ -2 a c cos⁡ϕ cos⁡ψ b^2 (cos⁡θ )^2 -2 b c cos⁡〖θ cos⁡ψ 〗 c^2 (cos⁡ψ )^2
a^2 (sin⁡ϕ )^2 2 a b sin⁡θ sin⁡ϕ -2 a c sin⁡ϕ sin⁡ψ b^2 (sin⁡θ )^2 -2 b c sin⁡〖θ sin⁡ψ 〗 c^2 (sin⁡ψ )^2
a^2 2 a b cos⁡(θ-ϕ) -2 a c cos⁡(ϕ-ψ) b^2 -2 b c cos⁡(θ-ψ) c^2

Así pues, podemos escribir:a^2+b^2+c^2+2 a b cos⁡(θ-ϕ)-2 a c cos⁡(ϕ-ψ)-2 b c cos⁡(θ-ψ)=d^2. (6)
Hemos conseguido eliminar algunas identidades trigonométricas pero tenemos 3 variables cuando sólo querríamos tener dos, pues recordemos que nos proponemos encontrar una relación entre el ángulo de entrada ϕ y el ángulo de salida ψ. Es decir, queremos que desaparezca el ángulo del eslabón acoplador θ.
Segundo intentoIntentaremos lo siguiente:
de la ecuación (2), despejaremos b e^iθ:
b e^iθ=-a〖 e〗^iϕ+c e^iψ+d , (7)
Multiplicando ambos miembros de la ecuación (7) por sus respectivos conjugados, obtenemos:
b^2=(-a〖 e〗^iϕ+c e^iψ+d)(-a〖 e〗^(-iϕ)+c e^(-iψ)+d) (8)
Puesto que del lado derecho de la ecuación (8) se tiene el productode una suma de 3 términos por otra suma de 3 términos, el resultado debe constar de 9 términos:
b^2=a^2-a c〖 e〗^i(ψ-ϕ) -a d e^(-iϕ)-a c e^i(ϕ-ψ) +c^2+c d e^(-iψ)-a d e^iϕ+c d e^iψ+d^2 (9)
Obsérvese que en la ecuación (9), están presentes 3 sumas de números complejos conjugados:
el segundo más el cuarto= -2 a c Re(e^(i(ψ-ϕ)) ); nótese que es indistinto si el ángulo es ψ-ϕ o ϕ-ψ,
el terceromás el séptimo = -2 a d Re(e^iϕ ),
el sexto más el octavo = 2 c d e^iψ.
Así, la ecuación (9) se reduce a:
b^2=a^2-2 a c Re(〖 e〗^i(ψ-ϕ) )-2 a d Re(e^iϕ )+c^2+2 c d Re(e^iψ )+d^2, (10)
o bien,
b^2=a^2-2 a c cos⁡(ψ-ϕ)-2 a d cos⁡ϕ+c^2+2 c d cos⁡ψ+d^2. (11)
(b^2-a^2-c^2-d^2)/(2 a c)=〖-cos〗⁡(ψ-ϕ)-d/c cos⁡ϕ+d/a cos⁡ψ
o bien,
〖k_1+k_2 cos⁡ψ+k_3 cos⁡ϕ-cos〗⁡(ψ-ϕ)=0(12)
donde,
k_1=(a^2-b^2+c^2+d^2)/(2 a c),k_2=d/a,k_3=-d/c. (13)
La ecuación (12) es una de las posibles formas de la llamada ecuación de Freudenstein, y es una relación no lineal entre la entrada ϕ y la salida ψ. Puede usarse la forma implícita de la ecuación (12) y un método numérico, o hacer un cambio de variable para...