ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA
El análisis dimensional se basa en el concepto de homogeneidad dimensional, lo cual implica que todos los términos de una ecuación deben tener las mismas dimensiones. Una forma de homogeneidad dimensional es y transformar en adimensional las ecuaciones utilizadas, lo cual quiere decir que la ecuación se transforma en una serie de parámetros sindimensiones. Por ejemplo si tomamos la ecuación de Bernoulli:



La dimensión de cada uno de los términos es una longitud, y si dividimos toda la ecuación entre h1 obtendremos una ecuación adimensional:



En el estudio de fenómenos con flujo de fluidos intervienen por lo general un gran número de parámetros de flujo y geométricos. Y es conveniente poder utilizar el mínimo número de combinacionesposibles entre los parámetros.
Tomemos por ejemplo la caída de presión ΔP a través de una válvula corrediza como la mostrada en la figura.
Si queremos analizar la caída de presión podríamos suponer que esta depende de las variables siguientes:
• La velocidad promedio en la tubería V
• La densidad del fluido ρ
• La viscosidad del fluido μ
• El diámetro de la tubería D
• La abertura dela válvula h
Esto puede expresarse matemáticamente como:

Si queremos estudiar experimentalmente en este problema la relación entre la caída de presión y cada uno de estos parámetros deberemos fijar una estrategia. La primera que viene a la mente es fijar todos los parámetros excepto uno, por ejemplo la velocidad, y analizar la relación entre este parámetro y la caída de presión. Podríamos hacereste experimento para varios valores de uno de los otros parámetros, por ejemplo el diámetro de la tubería. Podríamos obtener así los resultados de la figura: Luego podríamos repetir el estudio fijando otro jugo de parámetros y dejando libre a otros. Este método puede ser útil pero requiere del estudio de muchas combinaciones de parámetros.
Otra forma de realizar el estudio sería organizar losparámetros en una ecuación adimensional, como sigue:


De esta forma obtendremos una relación más sencilla puesto que la combinación de parámetros posibles es mucho menor, haciendo el mismo procedimiento que en el caso anterior podríamos resumir los resultado del estudio en una sola figura como sigue: Sin embargo la información que presenta está figura será útil solo si se ha escogido una relaciónde parámetros adecuada, que presente la información más importante del fenómeno. Por lo cual la escogencia de los parámetros a relacionar es sumamente importante y requiere por lo general la experiencia del que realiza el experimento Existe un método que permite obtener de una forma simple relaciones adimensionales entre los parámetros que influyen en un determinado fenómeno, este método esdenominado Teorema π de Buckingham.

Teorema π de Buckingham
El Teorema de Buckingham establece que si en un problema físico dado, en donde una variable dependiente se puede expresar en función de n variable dependientes como:

donde n representa el número de variables.
Entonces se pueden formar n – m grupos adimensionales de variables, llamados parámetros π, donde usualmente m es el número de mínimode variables independientes, y estos grupos de variables se pueden relacionar como:

Donde π1 incluye la variable dependiente y los demás grupos solo incluyen variables independientes. Donde la relación F se debe determinar experimentalmente. El parámetro π no es independiente si se puede formar mediante el cociente o producto de otros parámetros π.
El procedimiento empleado para aplicar elteorema de buckingham se pude resumir en los siguientes pasos:
1. Escribir la relación funcional f de la variable dependiente en función de las variables independientes.
2. Escoger m variables repetitivas, que serán las variables que se combinaran con cada una de las restantes para formar los parámetros π. Estas deben incluir todas las dimensiones pero no deben formar un parámetro π por si...