Análisis i - teoría

Conjuntos de números reales. Revisión de conceptos: números racionales e irracionales, valor absoluto, visualización geométrica, conjuntos finitos e infinitos, acotados y no acotados. Propiedades características. Intervalos. Entornos. Entornos reducidos. Plano cartesiano. Distancia entre dos puntos. Ejercicios de aplicación.

Conjuntos
Es una agrupación de elementos que pueden guardar o noentre sí algún nivel de familiaridad o tipología característica.

A=1,2,3,4 ∅={}
a conjunto vacío
a∈A ; a∉A
propiedad de pertenencia

B
A



B⊂A
propiedad de inclusión

A=1,2,3B=4,5,6 A∪B=1,2,3,4,5,6 A∪B=x∕x∈A∨x∈BA∩B=x∕x∈A∧x∈B
- Actividad: realizar las operaciones de unión e intersecciónde los conjuntos A y B de la figura.
6∙
7∙
8∙
4∙
5∙
2∙
1∙
3∙

A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8}
A∩B={4,5}
A-B=x/x∈A∧x∉B ; A-B={1,2,3}
Ac={x/x∉A}
- Actividad: dados los siguientes conjuntos realizar las siguientes operaciones: A∪B;A∩B;A-B; Ac.

A={1,3,5,7,9}
B={1,2,3,4,5}
R={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

A∪B={1,2,3,4,5,7,9}
A∩B={1,3,5}
A-B={7,9}
Ac={2,4,6,8,10}

- Actividad:dados los siguientes conjuntos resolver las operaciones indicadas:

A={1,2,3,4} A∩B={2,3}
B=2,3,5 A∪B={1,2,3,4,5}
D={2,5,7} A-B={1,4}
R={0,1,2,3,4,5,6,7} A∩B-D={3}
A∪D-B=1,2,3,4,7
A∪Bc=0,6,7
A∩B∪Dc={0,1,2,3,4,6}

Intervalos.

Una primera aplicación de la Teoría de Conjuntos a la definición del análisis matemático está dada por la descripción delos subconjuntos que se pueden definir a lo largo de la recta real.
De esta manera veremos que en definitiva los intervalos son conjuntos numéricos pertenecientes a los números reales (R) y que se pueden definir con la notación propia de la Teoría de Conjuntos.

////////////////////

b
a
(a;b)={x∈R/a<x<b}


////////////////////
b
a

a;b={x∈R/a≤x≤b}


- Actividad:teniendo en cuenta la notación anterior, describir los intervalos posibles en la representación de la recta real.

////////////////////
b
a

a;b)={x∈R∕a≤x<b}



////////////////////
b
a

(a;b={x∈R∕a<x≤b}

///////////////////////////
+∞
a
a;+∞={x∈R∕a<x}



////////////
-∞
a

-∞;a={x∈R∕x<a}



///////////////////////////
+∞
aa;+∞={x∈R∕a≤x}



a
////////////
-∞

-∞;a={x∈R∕x≤a}



///////////////////////////////
-∞
+∞

-∞;∞=xx∈R


Valor Absoluto.

La función valor absoluto tiene gran importancia en el análisis matemático ya que su característica funcional nos permite lograr notaciones con gran poder de síntesis, lo que como veremos luego en el caso de límite y derivada, tiene granimportancia a la hora de definir las propiedades tanto simbólicas como gráficas de estos conceptos. La función valor absoluto cumple con: x≥0 y x<0.

Propiedades de Valor Absoluto:

El trabajo con valor absoluto implica algunas reglas que se definen según las siguientes propiedades:


* El valor absoluto de un número a es positivo. a≥0
* Distributiva con respecto al producto.a×b=a×b
* Distributiva con respecto al cociente. a÷b=a÷b
* a+b≤a+b


Una de las características más importantes de la función módulo desde el punto de vista representacional es que la expresión x representa gráficamente la distancia del valor indicado al origen; o bien, la distancia entre dos puntos que conforman un segmento. De esta manera con escrituras muy compactas logramosrepresentaciones muy claras.

* 0
////////////////////
a
-a
x=d.[x,0]
* a-b=d.[a,b]
* x≤a

Desde el punto de vista operativo la definición de intervalos también permite el trabajo con inecuaciones más compactas.

- Actividad: resolver y representar gráficamente la siguiente inecuación y sus intervalos respectivos. Indicar categoría y extensión.

4x-7<13...