Aperos Matematicos

TMS  

Agosto 2013 

Aperos matemáticos II 

Ecuaciones diferenciales

 
 
Sabemos que si 
 

 

 

y  y ( x)  

entonces 

 

 

dy
 f ´( x)  
dx

 

 ie,  La derivada también es una función de  x  
 
 
También, si  
z  z ( x, y )  
 
entonces 
 
 
 
    dz  f ´( x, y )  
 
ie,  la derivada también es una función de  x y y  
 
 
2
Ejemplo: si    
 
       y  e x  
 
dy
Entonces  
 
 
 
     
 2 xy  
dx
 
 
Sea  z  z ( x, y ) , por tanto 
 z 
 z 
dz    dx    dy  
 x  y
 y  x

 

 

 

(1) 

 En  los  casos  anteriores,  dada  una  función  encontramos  su  derivada  o  su 
diferencial. 
 
 
 
Por  otra  parte,  en  ecuaciones  diferenciales,  se  cambia  de  enfoque:  dada  una ecuación diferencial, se solicita encontrar la función que satisfaga dicha ecuación; 
ie, se solicita resolver la ecuación. 
 
Pero… ¿qué es una ecuación diferencial? 
 
Una  ecuación  es  una igualdad,  y  si  es  diferencial  entonces  involucra  derivadas  o 
diferenciales. 
 
Si en la ecuación diferencial (1) los coeficientes diferenciales son función de  x y y  
entonces 
 
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Agosto 2013 

Aperos matemáticos II 

 z 
   M ( x, y )  
 x  y

 

 

 

 

 

(2) 

 z 
   N ( x, y )  
 y  x

 

 

 

 

(3)  
Con lo que (1) puede representarse como 
 
 
 
 
 
(4) 
dz  M ( x, y )dx  N ( x, y )dy    
 
 
Ahora  si  se  toma  la  segunda  derivada  de  las  expresiones  (2)  y  (3)  hay varias 
posibilidades,  ambas  se  pueden  diferenciar  con  respecto  a  x o y .  Así  podemos 
tener lo siguiente 
 
Provenientes de (2) 
2 z
2 z
y
 
x 2
yx
Provenientes de (3) 
 
2z
2 z
y
 
y 2
xy
 
De estas cuatro posibilidades sólo tres son distintas. Se puede demostrar que para 
una  función  de  varias  variables,  el  orden  de  diferenciación  no ...