Apli. matemática de integral definida

Análisis matemático I

* Tema: Uso de la integral para definir el centro de masa de un cuerpo.

* Alumnos: Chini, Pedro

* Institución: Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales -U.N.C.-

* Fecha de entrega: 01/07/2011

Memoria Descriptiva:
Una persona desea colocar un cartel en el aire para publicar su negocio, pero quiere que se sujete sólo de un punto delmismo. Para ello es necesario determinar el centro de masa del mismo.
Pliego de especificaciones:
Producto de la simplicidad del problema no podemos establecer un marco amplio que lo condicione, se enunciarán a continuación lo que se exige:
* Debe tener profundidad (volumen)
* La forma geométrica de su cara principal no debe ser simétrica
* Debe colgar de un solo punto
Desarrollo:
Elcentro de masa (CM) del sistema se describe como la posición promedio de la masa del sistema. El sistema puede ser un grupo de partículas, un conjunto de átomos, objetos, un cuerpo humano. En todos los casos podemos encontrar un lugar dentro o fuera de él en el que existe ese punto que nosotros buscamos en el problema planteado. Podemos dar un ejemplo cotidiano, tomemos una escoba, si colocamosla cerda para arriba y el palo lo apoyamos en la palma de nuestra mano será muy fácil sostenerla verticalmente, en cambio si ahora acostamos esa escoba no será tan fácil saber en qué parte del palo debemos apoyar nuestra mano ya que se caerá hacia un lado o hacia el otro, es decir, se balancea. Si trazáramos una línea imaginaria longitudinalmente en el palo y esta es el eje de simetría, esta líneaatraviesa el centro masa del sistema escoba. Mientras que en el segundo caso no tenemos esta facilidad para hallar donde va esa línea, suponiendo que fue encontrada, la intersección de ambas representa la posición del centro de masa.
Y


z x x
Y


z x x
Elesquema de la derecha nos permite observar en cierto modo es espacio tridimensional que nos ayuda a hacer una interpretación gráfica.
A cualquier figura que tenga volumen se la puede tratar mediante un sistema de referencia como el expuesto, por lo que el centro de masa se deberá calcular sobre cada eje, es decir, hay un CMx, un CMy y un CMz
A continuación se detallará el procedimiento teóricopara obtener estos puntos:
*

Comenzaremos trabajando con una figura simple en la que podemos desarrollar brevemente el concepto y hacerlo extensivo a nuestro caso.
* Sea m2 = 2m1 y considerando la distancia X1 = 0 Y X2 = d, XCM queda definido de la siguiente manera:


XCM = X1.m1+X2.m2m1+m2 = 0.m1+d.2m1m1+2m1=23d

* Estudiando la fórmula escrita anteriormentepodemos observar que el centro de masa se define en función de la distribución de la misma, para este caso son dos partículas aisladas ahora si tomamos un objeto donde la masa es continua hay que hacer un estudio muy similar:
XCM =X1.m1+X2.m2+…+Xn.mnm1+m2+…+mn=i=1nmi.xii=1nmi
* Viendo el denominador de la expresión vemos que sumando infinitésimas partes de materia la cual cada una tiene unamasa asociada termina resultando la masa total (M) del sistema. Luego la expresión queda de la siguiente manera:

XCM =1Mi=1nmi.xi siendo xi la coordenada x de la i-esima partícula de masa mi, en este caso estamos trabajando con respecto al eje x, ocurre lo mismo con el eje y, y también con el z.
* La posición de una partícula en el espacio puede ser dada por un vector, el mismo se componede sus proyecciones sobre cada eje y tienen su punto de aplicación en el origen del sistema de referencia, esto es la suma vectorial de rx + ry + rz = r
* Retomado el concepto que se venía desarrollando, serán ubicados i vectores de posición para i partículas de masa siendo rxi + ryi + rzi = ri. Piense que un sistema de masa continua tiene infinitas partículas y como...