APLICAC


MATEMÁTICAS BÁSICAS I

PROBLEMAS RESUELTOS


A.- INDUCCIÓN MATEMÁTICA

1. Utilizando inducción matemática, probar que < , n ≥2
Solución:
Para n=2: < → <6 (Verdadero)
Para n=m: < (Hipótesis inductiva)
Para n=m+1: < (Se debe probar)
Entonces:
==∙<
Hasta aquí hemos utilizado reemplazando en la hipótesis inductiva, luego:
<= <… (α)
Perom≥2>0→2m2+4m+2<2m2+5m+2
→2 (m+1)2< (2m+1) (m+2)
<1
En (α): <
Luego, concluimos que la expresión está demostrada
Finalmente, n≥2, se cumple que <
2. Demostrar por inducción matemática que es múltiplo de

3. Dado el conjunto de números reales { an/ },se define las relaciones de recurrencia:
a1 =1, a2 =5, an =5 an-1 - 3an-2; n≥3
Probar que an = ; n≥3
Solución:
Utilizamos la inducción matemáticapara demostrar esta proposición:
i) Para n=3: a3==22
a3 =5 a3-1 - 3a3-2=5(5)-3=22 (Verdadero)
ii) Para n=m: am= (Hipótesis inductiva)
iii) Para n=m+1: am+1 =5 am - 3am-1
Entonces debemos probar, a partir de la hipótesis inductiva, que:
am+1 =5. - 3.
am+1 = -
donde a=, b=
am+1 = =
==
Reemplazando a y b:
= l.q.q.d.

4. an =
Pruebe que:
an+2=an+1 +4an
an es unentero positivo,
Solución i:
Para probar debemos emplear la inducción matemática, pero antes de esto calculemos en la definición a0, a1, a2.
a0 = =0
De modo similar a1= 1y a2=1
Ahora, utilizando la inducción:
Para n=0: a2=a1 +4a0 →1=1+ 4(0) (Verdadero)
Para n=m: am+2=am+1 +4am (Hipótesis inductiva)
Para n=m+1: = +
Debemos probar que am+3=am+2 +4am+1
→am+1= ;
→am+2=
Asignemos =α y a=β
Reemplazamos y obtenemos:
am+1= ; am+2=
am+1=→4am+1 =
am+2=→ am+2=
Ahora sumamos am+2 +4am+1
= ==
= =
Reemplazamos α y β:
→ am+2 +4am+1= = am+3 (por definición inicial


Entonces, esta expresión es lo que queda demostrada.

Solución ii:
Lo demostraremos por la propiedad de clausura, tanto en la adición como en la multiplicación.
Las propiedades son:
Si a , b ; entonces a + b
Si k entoncesk, a entonces k.a
Entonces se puede ver que a1=1, a2=1, y ambos , por lo tanto aplicando las propiedades, generalizamos.
An , an+1 →4 an (por la propiedad de clausura), En consecuencia, sumando 4 an + an+1 (suma de números naturales) ,
Entonces an+2=an+1 +4an es también entero positivo

5. Sea un definido por:
u0= 2; u1= ; un+1=un (u2n-1-2)2-u1;0
Donde: en= (2n-(-1)n)
Probar porinducción matemática que: :0
Solución:
Para n=0: = 2 (Verdadero)
Para n=m: (Hipótesis inductiva)
Para n=m+1: (Se debe probar)
Entonces: ) [()2-2]-
) ()-
+++-… (α)
Pero: em= (2m-(-1) m)
2 em-1= (2m-1-(-1) m-1)
Sumando: em + 2 em-1 = [2m-(-1) m+2m+2(-1) m]
Además: em-2em-1=(-1)m+1
2em-1-2em=(-1)m
-2em-1-em=em+1
En (α): +++-… (β)

Si n par: 2-1+2=
Si n impar:2+2-1=
En (β) l. q. q. d.


B.- PRODUCTORIAS

1. Halle una expresión para cada caso en términos de n.

Solución:
===… (α)
Definamos ak= , entonces: en (α)α=
Por la propiedad telescópica que dice:
=
Aplicando a = = =
Por lo tanto =

2.
Solución:
===∙∙…∙ =

3. Si: =
Halle una expresión sin la notación , ni, para:
N= ; M≠1
Solución:
Lo primero que debemoshacer es calcular M, para reemplazar en N, que es lo que se pide.
Utilizando la propiedad del logaritmo =n y de la productoria = cn ; por lo que la primera expresión queda así:
=
=
=
=
=.
1=
1=
Por lo que M=
Ahora, con el valor de M, calculamos lo que nos piden, N.
N=
N=
N=
N= Respuesta



C.- SUMATORIAS Y BINOMIO DE NEWTON

1. Dado:
A= (+x-4)n=… +λ +…
B= (2-) 12=… + α XΦ +…Halle α, λ y Φ si son enteros, e indique los α y Φ posibles.
Solución:
A= (+x-4)n→tk-1=() (x1.5)n-k(x-4)k
B= (2-) 12→tk-1= () (2)12-k(-x⅓)k
En A, para calcular el término independiente λ, consideremos que el grado ces CERO; por lo que 1.5(n-k)-4k=0→3n=11k
de aquí. N=11 y k=3, con esto λ= () (x1.5)11-3(x-4)3→λ=165
En B, el grado de cada término solo depende de (-x⅓)k por lo que obviamos al otro...