APLICACIÓN DE DERIVADAS EN INDUSTRIA ALIMENTARIA

APLICACIÓN DE DERIVADAS EN INDUSTRIA ALIMENTARIA
Sea f una función derivable en todo su dominio.
En el entorno del punto a podemos aproximar la función por la recta
y(x) = f(a) + f ’(a) (x-a)esto es, la aproximación f(x)[pic] f(a) + f ‘(a) (x-a) es correcta cuando (x-a) es pequeño.
De forma más precisa podemos decir que la función diferencia f(x) – y(x) es un infinitésimo de orden superiora (x-a):
[pic] =  0
|[pic] |[pic] |
| |[pic] |

El valor del cociente incremental [pic]es igual a la pendiente de la secante a la curva que pasa por los puntos (a, f(a)) y (x, f(x)).
En ellímite, cuando x tiende a ‘a’, la secante tiende a la tangente a la curva en a y, por tanto, la derivada de la función representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto.
La rectatangente es y = f(a) + f'(a) · (x-a).

La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)= 40+15t-9t2+t3, donde t es el tiempo(en horas) transcurridodesde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas  y los intervalos en que esta crece y decrece.
Solución
Para que la función  tenga unmáximo o un mínimo la derivada debe ser cero.
 V´(t)= 15-18t+3t2, igualando a 0, 3t2-18t+15=0
Simplificando  t2-6t+5=0, cuyas soluciones son 5 y 1.
Ahora voy a ver  quién  es el máximo y quien elmínimo de la función, en el intervalo [0, 6], que tiene que estar entre estos dos valores junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de Weirtrars).
Ordenamos la función V por comodidad, V(t)=t3-9t2+15t+40
V(0)=40
V(5)=125-225+75+40 =15
V(1)=1-9+15+40= 47
V(6)=216-324+90+40=22
La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas.
Para ver los intervalos de crecimiento ydecrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V’(t)=3t2-18t+15

     0        1                       5             6        
V’        +    0          -        0        +
Luego V crece...