Aplicación De Derivadas

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Aplicaciones de las derivadas

1. Máximos, mínimos y monotonía
■ Piensa y calcula
x2 representada en el margen, halla los máximos y x–1 los mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Dada la gráfica de la función f(x) = Solución: Máximo relativo: O(0, 0) Mínimo relativo: B(2, 4) Creciente ( ): (– @, 0) (2, +@) Decreciente ( ): (0, 1) (1, 2)
Y x2 y=— x–1 X

●Aplica la teoría
1. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determina la monotonía de las siguientes funciones: b) y = 3x4 – 4x3 a) y = x3 – 3x2 + 3 Solución: a) y' = 3x2 – 6x y' = 0 ò x = 0, x = 2 Máximo relativo: A(0, 3) Mínimo relativo: B(2, –1) Creciente ( ): (– @, 0) (2, + @) Decreciente ( ): (0, 2) b) y' = 12x3 – 12x2 y' = 0 ò x = 0, x = 1 Máximo relativo: no tiene. Mínimorelativo:A(1, –1) Creciente ( ): (1, +@) Decreciente ( ): (– @, 1) y' = 0 ò x = – 1, x = 1 Máximo relativo: A(–1, –2) Mínimo relativo: B(1, 2) Creciente ( ): (– @, –1) (1, + @) Decreciente ( ): (–1, 0) (0, 1) b) y' = – 6x (x2 + 1)2

y' = 0 ò x = 0 Máximo relativo:A(0, 3) Mínimo relativo: no tiene. Creciente ( ): (– @, 0) Decreciente ( ): (0, + @)

3. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determinala monotonía de la siguiente función: y = √ x2 + 4
Solución: x y' = 2+4 √x Máximo relativo: no tiene. Mínimo relativo:A(0, 2) Creciente ( ): (0, + @) Decreciente ( ): (– @, 0)

y' = 0 ò x = 0
© Grupo Editorial Bruño, S.L.

2. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determina la monotonía de las siguientes funciones: 3 x2 + 1 a) y = b) y = 2 x +1 x Solución: x2 – 1 a) y' = x2

4.Calcula los máximos y los mínimos relativos y determina la monotonía de la siguiente función: y = (2 – x)ex SOLUCIONARIO

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Solución: y' = (1 – x)ex Máximo relativo:A(1, e) Mínimo relativo: no tiene. Creciente ( ): (– @, 1) Decreciente ( ): (1, +@)

y' = 0 ò x = 1

Solución: y' = 1/2 – cos x y' = 0 ò x = π/3, x = 5π/3 — 5π 5π + 3 √ 3 Máximo relativo: A , 3 6 — π π – 3√ 3 Mínimo relativo:B , 3 6

(

)

5. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determina la monotonía de la siguiente función en (0, 2π): x y = – sen x 2

(

)

Creciente ( ): (π/3, 5π/3) Decreciente ( ): (0, π/3) (5π/3, 2π)

2. Puntos de inflexión y curvatura
■ Piensa y calcula
Dada y = 2x
Y

√ x2 + 1

representada en el margen, halla los puntos de inflexión y los intervalos

deconcavidad y convexidad. Solución: Punto de inflexión: O(0, 0) Convexa («): (– @, 0) Cóncava (»): (0, +@)

2x f(x) = — √x2 + 1 X

● Aplica la teoría
6. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvatura de las siguientes funciones: b) y = – x3 + 3x2 – 2 a) y = x3 – 9x2 + 27x – 26 Solución: a) y' = 3x2 – 18x + 27 y'' = 6x – 18 y'' = 0 ò x = 3 y''' = 6 y'''(3) = 6 ≠ 0 Punto de inflexión:A(3, 1)Convexa («): (3, +@) Cóncava (»): (– @, 3) b) y' = – 3x2 + 6x y'' = – 6x + 6 y'' = 0 ò x = 1 y''' = – 6 y'''(1) = – 6 ? 0 Punto de inflexión:A(1, 0) Convexa («): (– @, 1) Cóncava (»): (1, +@)

7. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvatura de las siguientes funciones: 3x x a) y = 2 b) y = 2 x –1 x +1 Solución: x2 + 1 a) y' = – 2 (x – 1)2 y'' = 2x(x2 + 3) (x2 – 1)3 6(x4 + 6x2 + 1) (x2– 1)4

y'' = 0 ò x = 0 y''' = –

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

y'''(0) = – 6 ? 0 Punto de inflexión: O(0, 0) Convexa («): (–1, 0) (1, +@) Cóncava (»): (– @, –1) (0, 1) b) y' = y'' = 3(1 – x2) (x2 + 1)2 6x(x2 – 3) (x2 + 1)3

TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

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y'' = 0 ò x = – √3 , x = 0, x = √3 y''' = – 18(x4 – 6x2 + 1) (x2 + 1)4

Solución: y' = 2x x2 + 4 2(x2 – 4) (x2 + 4)24x(x2 – 12) (x2 + 4)3

y'''(– √3 ) = 9/16 ? 0 y'''(0) = – 18 ? 0 y'''( √3 ) = 9/16 ? 0 Punto de inflexión: A(– √3 , – 3 √3 /4), O(0, 0), B( √3 , 3 √3 /4) Convexa («): (– √3 , 0) Cóncava (»): (– @, – √3 ) ( √3 , +@) (0, √3 )

y'' = –

y'' = 0 ò x = – 2, x = 2 y''' =

8. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvatura de la función y = xex Solución: y' = (x + 1)ex y'' = (x +...