Aplicación de ecuaciones diferenciales

ÍNDICE DE CONTENIDOS:






1. APLICACIÓN DE ECUACIONES DDIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

2. APLICACIÓN GEOMETRICA

3. CAMBIO DE TEMPERATURA

4. APLICACIÓN EN HIDRAULICA

5. APLICACIÓN EN VIGAS













1. APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
2. APLICACIÓN GEOMETRICA


Por lo general estasaplicaciones geométricas constan en plantear ciertas relaciones entre los diferentes elementos de una familia de curvas planas, estas relaciones se refieren a conceptos básicos, definiciones y propiedades icónicas reales en plano.
Los problemas geométricos ofrecen una gran variedad de ecuaciones diferenciales de primer orden y degrado superior.
Mostraremos algunos conceptos básicos de lageometría plana que nos permitirá plantear correctamente los problemas.

mL = , donde xo ≠ x
yo - y
xo - x
_____

Pendiente de una recta “L” que pasa por los puntos P(x, y) y P(xo, yo)



Si α es el ángulo entre el eje positivo “X” y una recta “L” entonces
y’ = = tang(α) = mL
dy
dx
___



m T =
dy
dx
___

N
T
P(x, y)
Sea“C” una curva plana descrita por la ecuación, F (x, y) = 0 y P(x, y) un punto cualquiera de “C” por donde se traza una recta tangente “C” y por el mismo punto P(x, y) una recta normal “N” a la curva
Pendiente de la recta tangente:
m N =
1
m T
- ___

Pendiente de la recta normal:
Ec. de la recta tangente con el punto de paso P(xo, yo):
(y - yo) = m T .(x – xo)



3. CAMBIO DE TEMPERATURA
La rapidez de cambio de temperatura de un cuerpo en cualquier tiempo “t” es proporcional a la diferencia de la temperatura del cuerpo y del medio ambiente en el tiempo “t”
Siendo:
* T : la temperatura del cuerpo en el tiempo “t”.
* Tm : la temperatura del medio ambiente en torno del cuerpo.
* To : latemperatura inicial del cuerpo para “t = 0”
* k : factor de proporcionalidad
La variación de la temperatura puede ser positiva o negativa según que aumente o disminuya.
De acuerdo a la ley de enfriamiento de Newton la ecuación diferencial corresponde
= k ( T - Tm )
dT
dt
___
Cuando la variación de temperatura aumenta

= - k( T - Tm )dT
dt
___

Cuando la variación de temperatura disminuye




α(t) = e∫k.dt = ekt
ekt dT/dt + ekt kT = ekt k Tm
d/dt ( ekt .T ) = ekt k Tm
Integrando…
d/dt ∫( ekt .T ) = ∫ekt k Tm .dt
ekt .T = Tm ∫ekt k .dt
ekt .T = Tm · ekt + c
ekt .T = Tm · ekt + c
T = Tm+ c.e-kt
Solución general
El factor de integración para la solución de la ecuación diferencialCuando “t = 0”, “T” toma el valor de To
To = Tm+ c.e-k(0)
To = Tm+ c.e0
c = To - Tm
T = Tm+ ( To – Tm ).e-kt





4. APLICACIÓN EN HIDRAULICA
0.6 B √2gh
0.6 : coeficiente de gasto
h : carga del liquido
Experimentalmente en un laboratorio de hidráulica se determina que cuando se vacía un a tanque a través de un orifico “B” que esta a “h” pies debajo delnivel del líquido la pérdida del volumen por unidad de tiempo es igual a:


Generalmente en los tratados de hidráulica el gasto de un liquido por un orificio se representa por la letra “G” que significa el producto del volumen por el tiempo:
G = v . t


Considerando un recipiente de sección transversal “A” conteniendo un liquido de altura “H” y un orifico en la base del recipientede área “B”.
El problema consiste en encontrar la altura del liquido en cualquier tiempo, como también e tiempo de vaciado del recipiente.
La formulación del problema se realizara una vez que se ha iniciado el vaciado, es decir, para un tiempo mayor que cero (t > 0).
Si el tiempo es (t = 0), significa que el vaciado no se ha iniciado todavía.

Sea “h” la altura o carga del liquido...