aplicacion de derivadas

APLICACIONES DE LA DERIVADA
Aplicaciones de la derivada en la realidad
1. Ejemplo:
Se vierte agua en un estanque cilíndrico de 2 metros del radio de la base y 4
metros de altura a razón de 50litros por minuto. ¿Con que rapidez asciende
el nivel del agua?
Solución:
Llamemos “h” a la altura del nivel de líquido en cualquier momento, podemos
expresar el volumen del contenido en función de hde la forma: V = πr 2 h ,
despejando “h” se tiene:
h=

V
en donde π y r son constantes, derivando se obtiene:
πr 2

dh
1 dV
=
dt π r 2 dt
⎛ dV ⎞
pero dado que ingresa agua a razón de 50litros por minuto ⎜
⎟ entonces:
⎝ dt ⎠
1
dh
=
0,050 = 0,0 398 m / min
dt
12 ,56

2. Ejemplo:
Una población está creciendo de acuerdo a la ecuación P (t ) = 150,000e 0.2t ,
encuentra larazón de cambio de la población.
Solución:
Como se pide la razón de cambio, debemos encontrar la derivada utilizando
las reglas para funciones exponenciales en donde debemos de identificar la
“u” queen este caso es el exponente de la función:

P(t ) = 150,000e 0.2t
u = 0.2t = u ' = 0.2t 1 −1 = 0.2
P(t ) = 150,000(0.2)e 0.2t

3. Ejemplo:
Un cochecito teledirigido se lanza por una cuesta.La distancia recorrida en
metros al cabo de t segundos viene dada por d = 0.2t2 + 0.03t3
a) ¿Qué velocidad lleva al cabo de 2 s, 5 s, y 6 s?
b) Cuando el cochecito alcanza una velocidad de 46.8km/h, los frenos son
insuficientes ¿Cuánto tiempo puede permanecer bajando sin que el conductor
se preocupe por sus frenos?
Solución:
y = 0.2t2 + 0.03t3
y’ = 0.4t + 0.09t2
a. La velocidad al cabo de2 s, 5 s, y 6 s:
v(2) = d’(2) = 0.4 × 2 + 0.09 × 22 = 1.16 m/s, velocidad a los 2 seg.
v(5) = d’(5) = 0.4 × 5 + 0.09 × 52 = 4.25 m/s, velocidad a los 5 seg.
v(6) = d’(6) = 0.4 × 6 + 0.09 × 62 =5.64 m/s, velocidad a los 6 seg.
b. ¿Cuánto tiempo puede permanecer bajando sin que el conductor se
preocupe por sus frenos?
Si v = 46.8 Km/h → v = 46.8

km
1h
1000m 46800 m
×
×
=
= 13m /...