aplicacion de diferenciales

Cálculo diferencial e integral II

1.1.3. Aplicaciones de la diferencial.
Trataremos algunos problemas que se resuelven en forma aproximada, calculando
el incremento de una función.
PROBLEMA 1.Calcular el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado
de 5m, si éste recibe un aumento de 0.002m.

5m
SOLUCIÓN:
Datos:

A = l 2 Fórmula del área de un cuadrado.
l = 5m
dl = ∆l =0.002m
Calcular: dA =

A = l 2 su diferencial es: dA = 2l.dl y sustituyendo los datos
tenemos: dA = 2(5m)(0.002m) por lo tanto
dA = 0.020m 2
Entonces: Como

Conclusión: El incremento es de0.020 metros cuadrados.

PROBLEMA 2. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a
SOLUCIÓN: Como vimos anteriormente
aproximación a la función

25.4

dy nos representa una muy buena

y= f (x) alrededor del punto de tangencia x0 , lo que

nos permite afirmar que:

f ( x) ≅ f ( x0 ) + dy donde dy = f ' ( x0 ) dx
Como el problema consiste en aproximar 25.4 , entonces, podemosdefinir una
función que nos permita aproximar dicho valor, para esto tomaríamos la función

f ( x) = x de igual manera escogeríamos un punto x0 donde podamos conocer
con exactitud el valor de lafunción evaluada en ese punto, para este caso es
conveniente tomar x0 = 25 , entonces si sabemos que:

f ( x) ≅ f ( x0 ) + dy
f ( x) ≅ f ( x0 ) + f ' ( x0 ) dx

24

Diferenciales e IntegralIndefinida

Haciendo:
1) f ( x ) =

x
1

x entonces f ( x) = x 2 por lo tanto f ' ( x) =

Como f ( x ) =
2)

f ' ( x) =

1

1 −2
1
x =
2
2 x

1
2 x

3) x = 25.4
4)

x0 = 25
dx= x − x0

5)

dx = 25.4 − 25
dx = 0.4

Entonces:

f ( x)

≅

25.4 ≅

f ( x0 ) + f ' ( x0 ) dx
25 +

1

≅

(0.4)
2 25
1
5+
( 0 .4 )
(2)(5)
1
5+
(0.4)
10
5 + (0.1)(0.4)≅

5 + 0.04

≅
≅

25.4 ≅ 5.04

El valor real de
calculadora.

25.4 = 5.039841 lo podemos obtener haciendo uso de la

De tal manera que el error de aproximación sería:
E.A =...