Aplicacion de la derivada

La derivada y sus aplicaciones
2.1. Introduccion
En 1604 Galileo formulo la ley de la cada de los cuerpos : la cada de los cuerpos
es un movimiento uniformemente acelerado. Matematicamente se expresa diciendo que el
espacio s(t) recorrido es proporcional al cuadrado del tiempo:
s(t) =
g
2
t2
Pero esto no satiszo a Galileo, quien deseaba comprender la esencia del movimiento de lacada y fue aqu donde se equivoco, al igual que otros grandes del pensamiento cientco
como Leonardo y Descartes. El creyo que el principio era: la velocidad del cuerpo en cada
libre es proporcional a la distancia recorrida. Ahora, con el calculo diferencial e integral
no es difcil demostrar que este principio no conduce a la ley ya establecida. Mucho se ha
escrito sobre estefamoso error, de preferir formular la ley como la velocidad proporcional
al espacio. Algunos historiadores de la ciencia lo atribuyen, ademas de la ausencia del
calculo, al rol jugado por la geometra en los albores de la ciencia moderna.
El proceso del cual salio la fsica clasica consistio en un esfuerzo para racionalizar, o
dicho de otra forma, para geometrizar el espacio y matematizarlas leyes de la naturaleza.
A decir verdad, se trata del mismo esfuerzo, pues geometrizar el espacio no quiere decir
otra cosa que aplicar al movimiento leyes geometricas. >Y como -antes de Descartes- se
poda matematizar algo si no es geometrizandolo? 1
Para llegar a comprender la esencia del movimiento, era necesario llegar a la idea fsica
realmente difcil de velocidad instantanea.Sea
s = f(t)
1A. Koyre: Estudios Galileanos. Siglo veintiuno, 1988.
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220 CAPITULO 2. LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES
una funcion que nos da la posicion de un movil en el instante t. Para encontrar la velocidad
v en un instante t = t0, consideremos el intervalo de tiempo transcurrido entre t0 y t0 +h,
h 6= 0. El camino recorrido en el intervalo dado es

s = f(t0 + h) f(t0):
Lavelocidad promedio v es
v =

s
h
=
f(t0 + h) f(t0)
h
,
para obtener la velocidad instantanea v es necesario hacer el intervalo de tiempo tan
peque~no como queramos, es decir,
v = lm
h!0
f(t0 + h) f(t0)
h
:
Este lmite corresponde a la derivada de una funcion y dice la rapidez con que esta variando
la funcion. Fue Newton en 1665 quien llego a este concepto llevando elproblema
fsico a una formulacion geometrica, que establece la equivalencia entre la existencia del
lmite v y el problema de trazar la recta tangente en un punto t0 al graco de la funcion
f.
En primera instancia, no es claro que es la tangente a una curva plana en un punto
dado, pues no es equivalente al caso de la geometra elemental de la circunferencia, en que
la tangente es la rectaque tiene solo un punto comun con ella. Para una curva cualquiera
esto pierde sentido.
Consideremos la curva y = f(x) y sobre ella un punto P0 de abscisa a. Para denir la
tangente en el punto P0 consideremos otro punto P de abscisa a+h y tracemos la secante
P0P que forma un angulo  con el eje X. Entonces, la recta tangente en el punto P0 es
la recta que se obtiene como caso lmite deestas secantes cuando el punto P se acerca
indenidamente a P0. La tangente del angulo  es:
tan  =
QP
P0Q
=
f(a + h) f(a)
h
:
Para tener la inclinacion de la recta tangente debemos pasar al lmite y obtenemos
que:
tan  = lm
P!P0
tan  = lm
h!0
f(a + h) f(a)
h
:
Con los conocimientos de geometra analtica sabemos que conociendo un punto y la
inclinacion de la recta,ella esta completamente determinada.
2.1. INTRODUCCI ON 221
a

a + h
h
f(a + h) f(a)
P0 = (a; f(a))
x
y
222 CAPITULO 2. LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES
2.2. Denicion y formulas basicas de la derivada
2.2.1. Deniciones basicas
Denicion 2.2.1 Sea f una funcion denida en un intervalo abierto que contiene al punto
a. Llamaremos la derivada de la funcion f en el punto a...