Aplicacion de la derivada

LA DERIVADA
 
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.

Es una de las aplicaciones más útiles que tiene la matemática para sí misma y para las demás asignaturas, muy especialmente en física facilita la comprensión y agilidad en los procesos, es por ésta razón que algunos de los ejemplos que en esta presentación se veránserán en esta asignatura.
Geométricamente: la derivación (en su concepto más simple) consiste en hallar la recta tangente a una curva, recordando que una recta tangente es aquella que comparte un único punto con la curva, y culmina con la determinación de la ecuación que genera dicha recta a través de la geometría generalmente utilizando el teorema de punto y pendiente .
A través del cálculo:consiste en determinar el resultado de con una determinada función f(x) el desarrollo del límite: Limh->0fx+h−F(x)h=f´(x).

En donde la simbología f ´(x) se lee como primera derivada de la función f(x), o bien primera derivada de la función definida que varía en x.

Tasa de variación media
Incremento de una función
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta enh, pasando  al valor a +h, entonces f pasa a valer f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
Tasa de variación media
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo
 [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:T.V.M. [a, b] =
 

Ejemplo. Halla la tasa de variación media de la función
f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]

Solución
T.V.M. [0, 2] =
 
Tasa de variación instantánea. La derivada
Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).
La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería.
 
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende acero, es decir :

A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.
=
Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.

Observación 1. Si hacemos x =a+h , la derivada, en el punto a , también puedeexpresarse así:

 
 
La función derivada
La función que a cada que a cada x le hace corresponder f´(x) se llama la función derivada de f y se denota por f´.

Reglas de Derivación

Salvo para las funciones más sencillas, utilizar la definición ε - δ para calcular su valor es extremadamente tedioso y dificil. Por este motivo, se suelen aplicar una serie de reglas que demuestran laequivalencia entre derivadas complicadas y derivadas sencillas.
Para aplicar estas reglas hay que tener en cuenta que las funciones en todo momento han de ser derivables.
Las reglas de derivación básicas son las que enumeramos a continuación.
Suma
La derivada de la suma de dos funciones es la suma de sus derivadas.
En la notación con apóstrofe, esta regla se expresa como ( f(x) + g(x) )' = f'(x)+ g'(x).
En la notación de Leibniz, la relación sería:

 
Ejemplos:
a)
b)
Producto
La derivada de un producto de funciones es la suma de la derivada de la primera función multiplicada por la segunda mas la derivada de la segunda función por la prmera.
Es decir, ( f(x) g(x) ) ' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
o también,

Ejemplos:
a)
b)
Cociente
Siempre que g'(x) sea distinta de 0  (esdecir, g(x) no sea una constante), tendremos la siguiente relación:
  
o también  

Ejemplos:
a)
b)

Regla de la Cadena
La regla de la cadena es una de las reglas más útiles ya que permite derivar funciones de funciones (composiciones de funciones).
Se expresa de la siguiente forma:

Una forma intuitiva de ver esto es considerar la función f como una función de un "algo" y...