Aplicacion ecuacion diferencialproyecto

Aplicación de las ecuaciones diferenciales.

INTEGRANTES:
* ALVAREZ COSIO OMAR
* ALBERTO cruz
* GAONA RIVERA CHRISTIAN LUDWIN
* TORRES ROSAS MONSERRAT

Grupo: 2CM15
24/03/2010
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL.

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA
Y ELECTRICA


ECUACION DIFERENCIAL DE RICATTI.
Se llama ecuación de Ricatti toda ecuación diferencialnumérica de primer orden de la forma:
y'=pxy2+qxy+rx
Si px=0 la ecuación es lineal completa de primer orden.
Si rx=0 la ecuación es de tipo Bernoulli.
Dada y=gx la solución particular de esta ecuación, la transformación:
y=gx+1u
Convierte la ecuación de Ricatti en una ecuación lineal de primer orden en la variable u.
De esta forma, para resolver este tipo de ecuaciones se procederá según elsiguiente método:
* Es necesario el conocimiento previo de una solución de una ecuación.
* Conocida ésta se realiza el cambio de variable mencionando anteriormente.
* Se resuelve la ecuación lineal en u.
* Deshacemos el cambio: u=1y-g

Otra forma de expresar la ecuación es la siguiente:
dydx+pxy+qxy2=f(x)
Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular,digamosy1(x).
Conocida dicha solución, se hace el cambio:
yx=zx+y1(x)

Nota: puede observarse claramente que se está excluyendo la posibilidad de que y-g=0, que desemboca en y=g, la cual es solución del problema y habrá que incluirla en la solución general.

Y reemplazando, se obtiene:
dydx=-pxy-qxy2+fx=dz(x)dx+dy1dx
Es decir:
-pxy-qxy2+fx=dzdx-pxy1x-qxy1x2+f(x)
⟹dzdx=pxy1-y+qx(y12-y2)Lo que equivale a:
dzdx=-pxz-qx(z2+2zy1)
⟹dzdx-px+2qxy1xz-q(x)z2
Que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.
Obsérvese que si se hace el cambio
yx=y1x+1z(x)

Esto nos lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.

ECUACIÓN DE CLAIRAUT
La ecuación de la forma:
y=xp+fp
Se llama ecuación de Clairaut. Al ser un caso particular de la ecuación de Lagrangese resuelve de modo similar aquélla. Por tanto, se deriva respecto de x:
dydx=P=P+xdpdx+f'pdpdx
Por tanto: x+f'pdpdx=0
Entonces, o bien dpdx=0, o bien x+f'p=0, es decir x=-f'p. si dpdx=0, por lo tanto p=C y la solución general de la ecuación de Clariaut es la familia de rectas:
y=Cx+fC
En el caso de que x=-f'p, entonces tomando p como parámetro, la ecuación de Clairaut tiene una soluciónsingular que es:
x=-f'p; y=-pf'p+fp
Esta solución, gráficamente, es la curva envolvente de la familia de rectas y=Cx+fC.
Ejemplo:
La ecuación y=xp+p2-7 es una ecuación de Clairaut.
Ejemplo:
Resolver la ecuación: Y=xy'-1y'
Solución:
Sea y’=p, entonces y=xp-1p

Nota: las ecuaciones x=xp,C, y=p,C constituyen la solución general de las ecuaciones de Lagrange y Clairaut expresada en forma deecuaciones paramétricas, siendo p el parámetro y C la constante de la familia. Por ser la solución general verifican que:
Mx,ydx+Nx,ydy= Mxp,C,yp,Cx'p,Cdp+Nxp,C,yp,Cy'p,Cdp.

Diferenciando y tomando dy=pdx
pdx=xdp+pdx+1p2dp
0=x+1p2dp
Si dp=0, p=c por lo tanto:
y=cx-1c es la solucion general.
Si x+1p2=0, x=-1p1
Sustituyendo en y=xp-1p entonces:
y=-1p2p-1p2
y=-2p
Tomando lasecuaciones x=-1p2 y y=-2x
Eliminando p: y2=4p2 p2=-1x
4y2=-1x
y2=-4x
Para saber si es o no solución singular, la comprobamos:
Derivando: 2yy'=-4
yy'=-2
y'=-2y
y=x-2y-1y'
y=x-y2-4-2y+y2
y=y2+y2 Por lo tanto si es solución.

ECUACION DE UN MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (MAS).

Fig. 3
Fig. 2
Fig.1. 1
l+Δl+u
Δl

Para deducir laecuación hacemos lo siguiente:
Se considera el alargamiento estático del resorte de longitud natural “l”, debido a una carga de una masa m (fig. 1). Suponga que “Δl” denota la elongación (Fig. 2 y 3). Las fuerzas que actúan sobre la masa son:
La fuerza de gravedad, actuando hacia abajo, mg=w, donde “g” es la aceleración debida a la gravedad y w es el peso de la masa.
La fuerza del resorte...