Aplicacion A La Derivada

Republica Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Defensa
Universidad Nacional Politécnica Experimental De Las Fuerzas Armadas (UNEFA)
San Tome – Edo. Anzoátegui

APLICACIONES A LA DERIVADA



San Tome, 9 de Junio de 2012

Introducción

En el siglo XVII, el deseo de medir y de cuantificar el cambio yla variación, condujo hasta la noción de derivada.

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se puede aplicar en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación

El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituye el cálculo infinitesimal. Los conceptos son difíciles y hasta bienentrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos en las aplicaciones prácticas de esta teoría.

Una de las mayores dificultades que se tiene al comenzar a estudiar la derivada de una función es la comprensión de sus aplicaciones (principalmente su significado geométrico). Mientras que el cálculo de derivadas suele resultar sencilloe incluso atractivo (dada la mecánica del proceso), las aplicaciones de la derivada se convierten en un problema complejo, aunque no lo sea, debido a que en muchos casos no se ha conseguido asimilar y adquirir el concepto con claridad.

Las propiedades que se muestran en este trabajo tienen como objeto el familiarizar al estudiante con los conceptos de límite y derivada de una función asícomo mostrar algunas de sus aplicaciones.

Regla de L'Hopital

Su aplicación permite resolver algunas indeterminaciones en el cálculo del límite de funciones derivables.

Regla de L’ Hopital

Sean f(x) y g(x) funciones continuas en el intervalo [a, b] y derivables en (a, b), tales que f(a)=f(b). Entonces:

Existen formas indeterminadas y formas determinadas.

* Formas indeterminadas:1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

* Forma determinadas:

1. 

2. 

3. 

4. 

* Demostración

Teorema de Rolle y de LaGrange

* Teorema de Rolle
Michael Rolle (1652-1719)

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto (a, b) y f(a)=f(b), entonces existe al menos un punto c entre a y b para el cual f'(c)=0. * F es continua en [a ,b]
F es derivable en (a, b)
F(a)=f(b)

* Existe c perteneciente a (a, b) / f'(c)=0
Interpretado geométricamente, significa que si una curva alcanza el mismo valor en dos puntos, entonces debe poseer una tangente horizontal en algún punto intermedio.

* Demostración

F es continua en [a, b] => por esto f tiene máximo absoluto M y mínimo absoluto m en [a,b].

Para todo x perteneciente a [a, b] m <= f(x) <= M.

Existe x1 perteneciente a [a, b] / f(x1)=M.
Existe x2 perteneciente a [a, b] / f(x2)=m.

Si m = M => para todo x perteneciente a [a, b] f(x) = M => f'(x) = 0
Si no, m < M => por lo menos uno de los puntos, x1 o x2, corresponde al interior del intervalo, a (a, b), por ejemplo x2.
=> (a, b) se comporta como unentorno de x2.
Se cumple que para todo x perteneciente a (a, b) f(x2) <= f(x)
=> Por de F de mínimo relativo f presenta un mínimo relativo en x2. (1)
F es derivable por hipótesis. (2)

De 1) y 2), por Condición necesaria para la existencia de extremos relativos f'(x2)=0

* Teorema de LaGrange
Joseph Louis LaGrange (1736 - 1813)

Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] yderivable en todo punto del intervalo abierto (a, b), entonces existe al menos un punto c donde f'(c) = f (b) - f(a) / (b - a).

* F(x) es continua en [a, b]
F(x) es derivable en (a, b)

* Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=(f(b) - f(a))/(b - a)

* Demostración

Definamos una función auxiliar g(x) = f(x) + hx, h perteneciente a R.

* G es continua en [a, b] por ser...