Aplicaciones de curvas y rectas

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL
Cuando un problema geométrico está enunciado en términos de la recta tangente o la recta normal, los puntos de corte de estas con los ejes coordenados quedan expresados en función de la derivada y el modelo matemático que se obtiene va a representar unaecuación diferencial, ya que las pendientes de las rectas tangente y normal a una curva en un punto, se pueden expresar en términos de sus derivadas. Considérese una curva F(x, y) = 0 y un punto P(x, y) de ella (ver Figura 1).
Y

P( x , y )

F ( x, y ) = 0

X Figura 1

La recta tangente a dicha curva en el punto P(x, y) es aquella recta, cuya intersección con la curva es solo el punto P(x,y). La recta normal a la curva F(x, y) = 0en el punto P(x, y), es aquella recta perpendicular a la recta tangente y que pasa por el punto P(x, y) (ver Figura 2).

Y

LN

P( x , y )

F ( x, y ) = 0

X Figura 2 LT

75 OBSERVACIÓN: Como se está indicando con P(x, y) un punto genérico de la curva F(x, y) = 0, para poder diferenciar se indicará con (X, Y) las coordenadas de cualquierpunto de la recta tangente o de la recta normal. En el punto P(x, y), resulta que: X=x Y=y

Por cálculo diferencial, se sabe que la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es igual a la derivada de la curva evaluada en dicho punto. Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente Lt a la curva F(x, y) = 0 en el punto P(x, y) es mt = y´. De aquí que, la ecuación de la recta tangente es:Lt: Y – y = y’ ( X – x ) Ya que la recta normal pasa por el mismo punto P(x, y) y es perpendicular a la recta tangente, por geometría analítica se sabe que. El producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es igual a –1, esto es, mt mn = –1; de aquí que la pendiente de la recta normal es mn = –
1 y'

Por lo tanto, la ecuación de la recta normal es: Ln : Y – y = –

1 (X–x) y'Los puntos de corte de cada una de estas rectas con los ejes coordenados, quedarán expresados en función de x, y, y’ (ver Figura 3)

Y B

LN

P( x , y ) C A

F ( x, y ) = 0

D

X

LT Figura 3

76 El punto A (ax, ay) es el punto de intersección entre la recta tangente y el eje x. Por ser A un punto en el eje x, resulta ay = 0. Para determinar ax, se sustituye en la ecuación de larecta tangente, X = ax y Y = ay = 0 – y = y’ ( ax – x ) despejando ax y ax = x – y'

⎛ y ⎞ Por lo tanto, las coordenadas del punto A son ⎜ x − , 0 ⎟ ⎜ y' ⎟ ⎝ ⎠ El punto B (bx, by) es el punto de intersección entre la recta tangente y el eje y. Por ser B un punto en el eje y, resulta bx = 0. Para determinar by, se sustituye en la ecuación de la recta tangente, X = bx = 0 y Y = by by – y = y’ (– x )despejando by by = y – x y’
Por lo tanto, las coordenadas del punto B son

( 0,

y − x y' )

El punto C (cx, cy) es el punto de intersección entre la recta normal y el eje x. Por ser C un punto en el eje x, resulta cy = 0. Para determinar cx, se sustituye en la ecuación de la recta normal, X = cx y Y = cy = 0 ⎛ 1⎞ – y = ⎜ − ⎟ ( cx – x ) ⎜ y' ⎟ ⎝ ⎠ despejando cx cx = x + y y’ Por lo tanto,las coordenadas del punto C son

(x + y y' , 0)

El punto D (dx, dy) es el punto de intersección entre la recta normal y el eje y. Por ser D un punto en el eje y, resulta dx = 0. Para determinar dy, se sustituye en la ecuación de la recta normal, X = dx = 0 y Y = dy ⎛ 1⎞ dy – y = ⎜ − ⎟ ( – x ) ⎜ y' ⎟ ⎝ ⎠ despejando dy x dy = y + y'

⎛ x ⎞ ⎟ Por lo tanto, las coordenadas del punto D son ⎜ 0, y+ ⎜ y' ⎟ ⎝ ⎠
Hay dos segmentos a los cuales se hace referencia en mucho de estos problemas geométricos, estos son: la subtangente y la subnormal.

77 SUBTANGENTE La subtangente es el segmento de recta comprendido entre la proyección del punto P(x, y) sobre un determinado eje coordenado y el punto de corte de la recta tangente con dicho eje coordenado (ver Figura 4).

Y B

Py Px

P( x...