aplicaciones de derivada



INTRODUCCIÓN.

En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. El otro concepto es la anti derivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. La derivada es un concepto de muchos usos que se puede ver en muchos aspectos. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, seconsidera la derivada como la pendiente de la tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite de una secante. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.
La derivada de una función en un punto mide el coeficiente por cual el valor de la funcióncambia cuando la entrada de la función cambia. Es decir, que una derivada provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio.
Se utilizan diferentes teoremas como el teorema de rolle, teorema de langrage también llamado teorema del valor medio en calculo diferencial.
Se utiliza también para calcular máximos y mínimos de una función creciente y decreciente,calcular concavidades y puntos de inflexión.
La derivada tiene aplicaciones par analizar la variación de función, calcular aproximaciones usando diferenciación y para resolver problemas de optimización y de tasas relacionados.










RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO. CURVAS ORTOGONALES.

¿Qué es una recta tangente?
Una recta tangente a una curva en unpunto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión.
¿Qué es la recta normal a una curva en un punto?
La recta normal a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa dela opuesta de f '(a).

¿Qué es la pendiente?
La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.
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¿Qué es una curva ortogonal?
En el espacio euclídeoconvencional el término ortogonal y el término perpendicular son sinónimos. Sin embargo, en espacios de dimensión finita y en geometrías no euclídeas el concepto de ortogonalídad generaliza al de perpendicularidad.



Grafica de una recta tangente y de una curva ortogonal:



















TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LANGRAGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULODIFERENCIAL.

El teorema de Rolle dice lo siguiente:
Si:
 es una función continua definida en un intervalo cerrado 
 es derivable sobre el intervalo abierto 


Entonces: existe al menos un punto  perteneciente al intervalo   tal que.
En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal. En la figura se ven tres casosdistintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.

Teorema de langrage o teorema del valor medio:En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange) teorema de los incrementos finitos', teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema no se usa para resolver...