Aplicaciones de la derivada

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PLANTEL 05 HUEHUETAN

MATERIA
CALCULO DIFERENCIAL.

TEMA
APLICACIÓN DE LA DERIVADA.

SUBTEMA (S)
* DIRECCIÓN DE UNA CURVA.
* ECUACIÓN DE LA TANGENTE Y LA NORMAL; LONGITUDES DE LA SUBTANGENTE Y LA SUBNORMAL.

ALUMNO
CHRISTIAN GARCIA CORONADO

SEMESTRE Y GRUPO
5° SEMESTRE GRUPO “C”

TURNO
MATUTINO

CATEDRÁTICO
ING.OCTAVIO GUADALUPE JOSÉ LÓPEZ

FECHA
HUEHUETAN,CHIAPAS; A 5 DE NOVIEMBRE DEL 2010

INTRODUCCION



Utilizando el concepto de derivada vamos a estudiar algunas propiedades de carácter local de las funciones. El estudio de estas características nos facilitará la representación gráfica de las mismas.
Se trata aquí de obtener información de las funciones a partir de su derivada. 

En un curso de Cálculo I es difícil abordar el temarelativo a las aplicaciones de la derivada, ya que el tiempo para cumplir con el extenso temario es corto; en este caso lo que se acostumbra en el caso de algunos tipos de aplicaciones, como serían los problemas de optimización, es dar una rápida introducción al problema y utilizar los criterios correspondientes, acompañado de los pocos recursos gráficos. Este curso es fundamental para la formacióndel estudiante, y dentro de sus objetivos está el que el estudiante pueda resolver este tipo de problemas. Pero, desgraciadamente, por lo regular los estudiantes no alcanzan a desarrollar las habilidades algebraicas y geométricas requeridas para plantear y resolver dichos problemas.

APLICACIONES DE LA DERIVADA
DIRECCION DE UNA CURVA

Se ha demostrado en el Artículo 28 que si
γ= ƒ (χ)Es la ecuación de una curva (fig. 8), entonces

dydx=pendiente de la tangente a la curva en P(χ,γ)

Fig. 8. Fig. 9

La dirección de una curva en cualquier punto se define como la dirección de la tangente a la curva de este punto. Sea τ= inclinación de la tangente. Entonces la pendiente = t g τ, γ
dydx=tgτ=pendiente de la curva en cualquier punto Pχ,γ .

En los puntos como D, F, H, donde la dirección de la curva es paralela al eje de las χ y la tangente es horizontal, se tiene

τ=0;luego dydx=0

En los puntos como A, B, G, donde la dirección de la curva es perpendicular al eje de las χ y la tangente es vertical, se tiene
τ=90º;luego dydx se hace infinita.

EJEMPLO 1. Dada la curvay=χ33-x2 + 2 (fig. 9) hallar:

a) La inclinación τ cuando x=1.
b) El Angulo τ cuando x=3.
c) Los puntos donde la dirección de la curva es paralela a OX.
d) Los puntos donde τ=45º.
e) Los puntos donde la dirección de la curva es paralela a la recta.
2x-3y=6 (Recta AB)
Solución. Derivando, dydx=x2 – 2x = tg τ

a) Cuando x=1, tg τ = 1 - 2 =-1; luego τ=135º
b)Cuando x=3, tg τ = 9 - 6 = 3; luego τ=71º 34'
c) Cuando τ=0, tg τ= 0 ; luego x2 – 2x = 0.

Resolviendo esta ecuación obtenemos x = 0 ò 2. Sustituyendo estos valores en la ecuación de la curva, hallamos y = 2 cuando x = 0, y= 23 cuando x = 2. Por lo tanto las tangentes en C (0,2) y D (2,23) son paralelas al eje OX.

d) Cuando τ=45º, tg τ=1. Luego x2 - 2x =1. Resolviendo estaecuación obtenemos x=1 ± 2 = 2, 41 y -0 , 41, que corresponden a los 2 puntos donde la pendiente de la curva (o de la tangente) es la unidad.
e) Pendiente de la recta dada = 23 ; luego x2 – 2x = 23. Resolviendo, obtenemos x=1 ± 53=2, 29 y-0 , 29, que son las abscisas de los puntos F y E donde la dirección de la curva dada (o de la tangentes) es paralela a la recta AB.Puesto que la curva tiene en cualquier punto la misma dirección que su tangente en este punto, el ángulo de dos curvas en un punto común será el ángulo formado por las tangentes en dicho punto.
EJEMPLO 2. Hallar el ángulo de intersección de las circunferencias

(A) x2 +y2 – 4x = 1,
(B) x2 +y2 – 2y = 9,
Solución. Resolviendo el sistema formado por estas ecuaciones hallamos...
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