Aplicaciones de la Derivada

INTRODUCCION A LA DERIVADA:
En matemáticas, La Derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variableindependiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dichopunto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada funciónderivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL:
Introducir a los estudiantes universitarios al entendimiento de lo que es La Derivada así mismo como su aplicación a situaciones practicas, Especialmente el concepto dederivada el cual es fundamental para comprender y derivar fórmulas que luego tienen una aplicación importante en la industria y en la ciencia en general, que es la que definitivamente inspira las innovaciones industriales.
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
Que los estudiantes sepan optimizar sistemas que se expresan mediante funciones más o menos complejas.
Que los estudiantes sepan hallar los valoresmáximos o mínimos de ciertas expresiones.
Que los estudiantes sepan hallar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de valores de interés, siempre que se puedan representar mediante funciones, naturalmente.
JUSTIFICACION
Muchas veces, con la ayuda del sentido común, estamos derivando sin darnos apenas cuenta. Naturalmente, uno no necesita derivar en la vida diaria fuera del trabajo (y tampoco enla mayor parte de las actividades profesionales). Sin embargo las derivadas son necesarias en muchas aplicaciones prácticas en biología, mecánica, en medicina bacteriológica, etc.
El concepto de derivada es fundamental para comprender y derivar fórmulas que luego tienen una aplicación importante en la industria y en la ciencia en general, que es la que definitivamente inspira las innovacionesindustriales. Las derivadas se utilizan para optimizar sistemas que se expresan mediante funciones más o menos complejas. Otra de sus aplicaciones es hallar los valores máximos o mínimos de ciertas expresiones (por ejemplo una inversión compleja en economía financiera). Otra es hallarlos intervalos de crecimiento o decrecimiento de valores de interés, siempre que se puedan representar mediantefunciones, naturalmente.
USO DE LA DERIVADA EN SITUACIONES PRACTICAS
Ejemplo 1
Quieres comprar un auto y solamente te dan como dato; que acelera durante el arranque a 3 metros por segundo cada segundo. Pero te interesa conocer el espacio que necesitas recorrer para pasar a120 km/h, y el tiempo que necesitas para ello: Entonces planteas

a = 3 = d^2x /dt^2,

Lo que significa que

dx /dt = 3t (la operación es la inversa de la derivada, pero el concepto es el mismo).

Será pues

120 km/h = 120* 1000/3600 = 3* t ---> t = 400/36 = 11,11 segundos, y el espacio que hace falta recorrer será

x = 3/2 t^2= (3/2) 11,11^2= 185 metros.

Con esos datos puedes valorar si te conviene el comportamiento del auto.
Ejemplo 2
Pensemos en una persona que cae a un río cuyas aguas se...