Aplicaciones De La Derivada

APLICACIONES
DE LA DERIVADA
en el trazo de gráficas

Determinar los máximos y
mínimos relativos o locales de f

La función tiene :
 Máximo Relativo en: x= - 1, y el valor máximo es f(-1) = 7
 Mínimo Relativo en: x= -3, 1, los valores mínimos son
f(-3) = -8.5 y f(1) = -9

Objetivos de los Criterios

1a Derivada

2a Derivada

Obtener de f(x):
Obtener de y= f(x):
1) los intervalos donde crece 1)los valores donde tiene
máximo y mínimo relativo.
y decrece.
2) los puntos donde hay
máximos y mínimos
relativos .

2) Los intervalos donde es
cóncava hacia arriba y
cóncava hacia abajo .

3) el valor máximo y mínimo 3) Puntos de inflexión,
donde hay cambio de
relativo.
concavidad.

Estrategia
1a Derivada
2a Derivada

1) Calcular los puntos críticos, Para concavidad y puntos
a través de f´(x) =0 y donde f de inflexión:
a) Obtener los posibles
´(x) no existe, que x Df.
puntos de inflexión
donde f’’(x) = 0 y f’’(x)
2) Establecer intervalos tanto
no existe
con los puntos críticos como
b) Establecer intervalos
con los valores de x donde x
tanto con los candidatos
 Df
a puntos de inflexión
como con los valores de
x donde x
3) Hacer un análisis cualitativo

intervalo Signo f ’(x)Conclusión

 Df

a través de una tabla:

intervalo Signo f ’’(x) Conclusión

Criterio de la 2° Derivada
Para obtener los valores donde f(x) tiene
máximo y mínimo relativo :
a) Obtener puntos críticos
b) Evaluar los puntos críticos en la 2° derivada
c) Verificar si en el punto crítico x= a:
i) f’’(a) > 0 (positiva) entonces en x = a hay un mínimo
relativo
ii) f’’(a) < 0 (negativa) entonces en x = a hay unmáximo relativo
iii) f’’(a) = 0 utilizar el criterio de la 1° derivada

Ejemplo 1: Obtenga los valores donde la función tiene
máximos y mínimos.
f ( x ) = x3 + x2 – 5x - 5

Df : x  

1º Obtener los puntos
críticos
f ‘ ( x ) = 3x2 + 2x – 5
3x2 + 2x – 5 = 0
(3 x + 5) ( x - 1 )
=0
x = -5/3
x=1

Resolver la
ecuación
factorizando.
3x + 5 = 0 x - 1 = 0
Ambos  Df , entonces
son puntos críticos,posibles valores donde
ocurre el máximo o
mínimo.

Ahora calculemos f´´(x) y evaluemos los puntos
críticos ahí y observemos el signo.
f ‘ ( x ) = 3x2 + 2x – 5
f ‘‘ ( x ) = 6x + 2
f ‘‘ ( -5/3) =6 ( -5/3) + 2 = -8

0

Entonces en x = - 5/3 ocurre un máximo
relativo, y el valor máximo es f(-5/3)
=
1.48148
Máx (-5/3, 1.48148)
f ‘‘ ( 1 ) =6 ( 1 ) + 2 = 8  0
Entonces en x = 1 ocurre un mínimo
relativo , yel valor mínimo
-8 es f(1)
Mín =
(1, -8)

Ejemplo 2: Encontrar los intervalos en los que f es
creciente, decreciente y obtenga los valores donde la
función tiene máximos y mínimos.

1
f ( x)  x 
x

1º Obtener los puntos
críticos

f ´(x) 1  x

2

1
1  2
x

Df : x   

f ( x) x  x

 0

1

x2  1
 2
x

 vale cero cuando x 2  1 0
f ( x) 
 No existe cuando x 2 0

x 1  Df
x0  Df

Por lo tanto los puntos críticos, en los cuales
posiblemente haya un extremo relativo son

x  1 y x 1

2º Establecer los intervalos con los puntos
críticos y x  Df en la recta numérica:

(-∞, -1)



(-1, 0 )



x  1

( 0, 1 )



x 0

(1, ∞ )



x 1

3º Hacer un análisis cualitativo a través de una
Intervalo
tomar un
Signo
Conclusión para f
tabla:
número

(-∞,
-1)
X= -1

X= - 2(-1,
0)
( 0,
1
) 1
X=

X= - 1/2

(1, ∞ )

X= 1/2
X= 2

f ´(x)

+

Crecient
Hay une Máx. Relativo
Decreciente
Decrecient
e Mín. Relativo
Hay un
+
Crecient

X = -1

X=1

X є (- ∞ , -1) U (1 ,
X є (- 1, 0) U (0 , 1)
El valor máximo∞)
es f(-1) = -2
y el valor mínimo es f(1) = 2

1
f ( x)  x 
x

Máx ( 1, 2)

Mín (1 , 2)

Ahora encontrar los intervalos en los que f es cóncava
hacia arriba , haciaabajo y obtenga los valores donde la
función tiene puntos de inflexión.

1
f ( x)  x 
x

Df : x   

1º Obtener los posibles puntos de
inflexión

f ´( x) 1  x

2

f ( x) 2 x

3

 0

2
f ( x)  3
x

 No vale cero
f ( x) 
3
No
existe
cuando
x
0

Por lo tanto no hay punto de inflexión.

x 0  Df

2º Establecer los intervalos con los posibles
puntos de inflexión y x  Df...