Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

”Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior”
Se revisaran varios sistemas dinámicos lineales en donde cada modelo matemático es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes:




La función g representa la entrada (función de entrada o función forzada) del sistema. La salida o respuesta del sistema es una solución de la ecuación diferencialen un intervalo que contiene a to que satisface las condiciones iníciales prescritas:


Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado.

Ley de Hooke.

Supongamos que, como en la figura 5.l(b), una masa m1 está unida a un resorte flexible colgado de un soporte rígido. Cuando se reemplaza rn1 con una masa distinta m2, el estiramiento, elongación o alargamiento del resortecambiará.

Según la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución, F, opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento s. En concreto, F =Rs, donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. Aunque las masas con distintos pesos estiran un resorte en cantidades distintas, 6ste está caracterizado esencialmente por sunúmero k; por ejemplo, si una masa que pesa 10 libras estira pie un resorte, entonces 10 = k() implica que k = 20 lb/ft. Entonces, necesariamente, una masa cuyo peso sea de 8 libras estirará el resorte de pie.

Segunda ley de Newton

Después de unir una masa M a un resorte, ésta lo estira una longitud s y llega a una posición de equilibrio, en la que su peso, W, está equilibrado por la fuerzade restauración AZS. Recuérdese que el peso se define por W = mg, donde la masa se expresa en slugs, kilogramos o gramos y g = 32 ft/s2, 9.8 m/s2 o 980 cm/s2, respectivamente. Como se aprecia en la figura 5.2(b), la condición de equilibrio es mg = ks o mg - ks = 0. Si la masa se desplaza una distancia x respecto de su posición de equilibrio, la fuerza de restitución del resorte es k(x + s).Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que actúen sobre el sistema y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento libre), entonces podemos igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta, o resultante, de la fuerza de restitución y el peso:

El signo negativo de la ecuación (1) indica que la fuerza de restitución del resorte actúa en la dirección opuesta del movimiento.Además, podemos adoptar la convención que los desplazamientos medidos abajo de la posición de equilibrio son positivos (Fig. 5.3).

Ecuación diferencial del movimiento libre no amortiguado Si dividimos la ecuación (1) por la masa m, obtendremos la ecuación diferencial de segundo orden d2xldt 2 +(k/m)x = 0, 0 sea´
(2)
Donde w^2 = klm. Se dice que la ecuación (2) describe el movimiento armónicosimple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias asociadas con (2) son x(O) = α, la cantidad de desplazamiento inicial, y x’(O) =ᵝ, la velocidad inicial de la masa. Por ejemplo, si α > 0, ᵝ< 0, la masa parte de un punto abajo de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba. Si α < 0, ᵝ = 0, la masa se suelta partiendo del reposo desde un punto ubicado | α|unidades arriba de la posición de equilibrio, etcétera.


El periodo de las vibraciones libres que describe (3) es T = 2 π/w, y la frecuencia es f = l/T =w/2 π. Por ejemplo, para x(t) = 2 cos 3t - 4 sen 3t, el periodo es 2 π/3 y la frecuencia es 3/2 π. El número anterior indica que la gráfica de x(t) se repite cada 2 π/3 unidades y el ultimo numero indica que hay tres ciclos de la gráfica cada27r unidades o, lo que es lo mismo, que la masa pasa por 3/2 π vibraciones completas por unidad de tiempo. Además, se puede demostrar que el periodo 27 π /w es el intervalo entre dos máximos sucesivos de x(t). Téngase en mente que un máximo de x(t) es el desplazamiento positivo cuando la masa alcanza la distancia máxima abajo de la posición de equilibrio, mientras que un mínimo de x(t) es el...