ecuaciones diferenciales de orden superior

CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIDAD 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
CONTENIDO

4.1

NOTACION

4.2
4.2.1
4.2.2
4.2.2.1

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN
Solución de la ecuación diferencial de segundo orden. (Definición)
Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden.
Ecuaciones diferenciales donde la variable dependiente está ausente; osea, de la forma:

y = f ( t ) , y = f ( y )

, y = f ( t , y )

4.2.2.2 Ecuaciones diferenciales donde la variable independiente está ausente; o sea, de la forma:

y  = f ( y ) , y  = f ( y )

,

y  = f ( y , y )

4.2.3.
4.2.4

Solución general
Solución específica (Problemas de valor inicial)

4.3

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR DE LA FORMA

4.44.4.1
4.4.2
4.4.3
4.4.4
4.4.4.1
4.4.4.2
4.4.4.3
4.4.4.4

ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL HOMOGÉNEA DE SEGUNDO ORDEN
Notación.
Teorema fundamental.
Sistema fundamental (Teorema – Sistemas linealmente independientes)
Ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden de coeficientes constantes
Solución Y Ecuación Característica.
Raíces Reales Diferentes.
Raíces Reales Iguales.Raíces Complejas Conjugadas.

4.5

ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL HOMOGÉNEA DE ORDEN SUPERIOR DE COEFICIENTES
CONSTANTES
Solución y ecuación característica
Ejemplos de soluciones de la ecuación característica

4.5.1
4.5.2

4.6
4.6.1
4.6.2
4.6.3
4.6.4
4.6.5

y n  f ( t)

ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL NO -HOMOGÉNEA DE SEGUNDO ORDEN
Teorema.
Solución por el método de los coeficientesindeterminados.
Método complejo para obtener soluciones particulares de algunas ecuaciones diferenciales.
Aplicación del método complejo. (Fórmulas del circuito RLC).
Método general para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden (Variación de
parámetros. Lagrange)

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04/07/2013

Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez

CÓDIGO:00076 UFPSUNIDAD 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
4.1 NOTACIÓN
Cualquiera de las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales de orden superior se puede representar
mediante la siguiente notación: y n = f( t , y , y , y , , , y n - 1 ) que representa la ecuación diferencial de orden
n, en donde el exponente de los términos indica el orden de la derivada, o sea:

dn y
d y d2 y
dn - 1y
= f (t, y,
,
,,,
)
d t d t2
dn t
d tn -1
Ejemplos: La ecuación diferencial de primer orden quedará expresada mediante la notación y = f( t , y ) , la
ecuación diferencial de segundo orden quedará expresada por: y = f ( t , y , y ) y la ecuación de sexto orden
quedará expresada por:

d6 y
d y d2 y
d5 y
= f (t, y,
,
,,, 5 ) o
d t d t2
d6t
dt

y 6 = f( t , y , y , y ,, , y 5 )

4.2 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN
4.2.1 Solución de la ecuación diferencial. Una función y = f(t), es una solución de la ecuación diferencial de
segundo orden en algún intervalo, si f(t) está definida y es doblemente diferenciable en todo ese intervalo, y es
tal que la ecuación se transforma en una identidad cuando en ésta se sustituye la función y sus derivadas.
Ejemplo.Comprobar que
y" - 2y'+ 10y = 0.

y1 = et cos (3t) y y2 = et sen (3t) son soluciones de la ecuación diferencial

Para probar que y1 es solución.
´
Se obtiene y´1 , y"1, y se reemplazan en la ecuación diferencial la función y sus derivadas, las cuales deben
satisfacer la ecuación diferencial.
Para probar que y1 es solución.
Se obtiene y´2 , y"2, y se reemplazan en la ecuación diferencialla función y sus derivadas, las cuales deben
satisfacer la ecuación diferencial.
Problemas propuestos:
1° Probar que y1 = e-t, y2 = e-2t, y3 = C1 e-t + C2 e-2t e-2t son soluciones de la ecuación diferencial
y" + 3y'+ 2y = 0.
2° Probar que y = (3/4) e -2t +( l/4) e2t es una solución de la ecuación diferencial y" + 4y'+ 4y = 4e 2t.

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04/07/2013

Profesor: Luis Rodolfo...