Aplicaciones De La Derivada

5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

Ecuación de la recta normal

La rectanormal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

Ejemplos
Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.

Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.Sea el punto de tangencia (a, b)
m = 1
f'(a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0
Punto de tangencia:(0, 1)
Recta tangente:
y − 1 = x y = x +1
Recta normal:
m= 1P(0, 1)
y − 1 = −x y = −x + 1

5.2 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del cálculo diferencial.

Teorema de Rolle

El teorema de Rolle dice que:
Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a,b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c  (a, b) en el quef'(c) = 0.

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.
Ejemplos
1. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]?

La función es continua en [0, 2].
No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución noes derivable en el punto x = 1.

2. Estudiar si la función f(x) = x − x3 satisface las condiciones del teorema de Rolle en los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. en caso afirmativo determinar los valores de c.
f(x) es una función continua en los intervalos [−1, 0] y [0, 1] y derivable en los intervalos abiertos (−1, 0) y (0, 1) por ser una función polinómica.
Además se cumple que:
f(−1) = f(0)= f(1) = 0
Por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

3.¿Satisface la función f(x) = 1 − x las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [−1, 1]?
La función es continua en el intervalo [−1, 1] y derivable en (−1, 1) por ser una función polinómica.
No cumple teorema de Rolle porque f(−1) ≠ f(1).

4.Probar que la ecuación 1 + 2x + 3x2 + 4x3 = 0 tiene una única solución.
Vamos ademostrarlo por reducción al absurdo.
Si la función tuviera dos raíces distintas x1 y x2, siendo x1< x2 , tendríamos que:
f(x1) = f(x2) = 0
Y como la función es continua y derivable por ser una función polinómica, podemos aplicar el teorema del Rolle, que diría que existe un c  (x1, x2) tal que f' (c) = 0.
f' (x) = 2 + 6x + 12x2 f' (x) = 2 (1+ 3x + 6x2).
Pero f' (x) ≠ 0, no admitesoluciones reales porque el discrimínante es negativo:
Δ = 9 − 24 < 0.
Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle, por lo que la hipótesis de que existen dos raíces es falsa.

5.¿Cuántas raíces tiene la ecuación x3 + 6x2 + 15x − 25 = 0?
La función f(x) = x3 + 6x2 + 15x − 25 es continua y derivable en ·
Teorema de Bolzano.
f(0) = −25
f(2)= 37
Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (0, 2).
Teorema de Rolle.
f' (x) = 3x2 + 12x +15
Dado que la derivada no se anula, ya que su discriminante es negativo, la función es estrictamente creciente y posee una única raíz.

6.Demostrar que la ecuación 2x3 − 6x + 1 = 0 una única solución real en el intervalo (0, 1).
La función f(x) = 2x3 − 6x + 1 es continuay derivable en ·
Teorema de Bolzano.
f(0) = 1
f(1) = −3
Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (0, 1).
Teorema de Rolle.
f' (x) = 6x2 - 6 6x2 - 6 = 0 6(x − 1) (x + 1) = 0
La derivada se anula en x = 1 y x = −1, por tanto no puede haber dos raíces en el intervalo (0, 1).

Teorema de Lagrange o del valor medio

Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813)...