Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la Integral para calculo de distancias

Toda aquella integral (simple) que además de la variable de integración presente ciertos medidas
situados en su función subintegral o ensus extremos, recibe el nombre de Integral de medidas
o Integral dependiente de parámetros.
Estas integrales, por tanto, son de la forma:
le A) = f ¡(x, A) dx J(A, 11) = f ¡(x, A, 11) dx, .. .
dondelos citados parámetros se consideran constantes durante el proceso de integración, pudiendo
suceder que los extremos de integración dependan también de estos parámetros.
Estudiaremos el caso de laanterior integral leA), es decir, el caso de un solo parámetro. La
generalización (Ejemplo resuelto 6 y propuestos 3 y 4) es inmediata.
Previamente, para fijar ideas, resolveremos un ejemplo muysimple, que a parte de justificar
la notación le A) (aunque resulta evidente que la integral l es función únicamente de A), presenta
un resultado (que inmediatamente probaremos) y que corresponde a lamás notable relación de
esta sección.
Ejemplo
Consideremos la integral leA) = f f(x, A) dx , f(x, A) = 3}.x2 + A 2 + 2
al Resolver la integral, obteniendo su valor le}, ). Seguidamente deríveseeste valor respecto de A, es
dl(},)
decir, hállese -;¡¡- .
dl(},) f3
bl Compruébese que también -;¡¡- = 1 f~.(x, },) dx.
RESOLUCiÓN
al IU,) = (3h2 + A2 + 2)dx = 3A - + A2
f X + 2x = 2},2 + 26), +4 ->-- = 4}, + 26. 3 X3 ] 3 dl(A)
1 3 1 dA
bl f
3 f3 ] 3 dl(A)
f~(x, A)dx = (3x2 + 2A)dx = x 3 + 2h = 4), + 26 = - -o
1 1 1 dA
Hacemos hincapié en que se ha realizado la siguiente comprobación(que como veremos, en ciertas
condiciones, y siendo a y b constantes, siempre se verifica):
f
b dl(A) fb
Si IV,) = a f(x, },) dx , entonces -;¡¡- = a f~(x, A) dx

Propiedades de las integralespara medidas

1. Continuidad
Consideremos la integral leA) = f f(x, J,) dx, con a y b independientes, en pnncIpIO, del
parámetro A.
Si la función subintegral f(x, J,) (supuesta como una función...