Aplicaciones de la transformada de laplace

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Aplicaciones de la Transformada de Laplace

Solución de ecuaciones lineales
Resortes acoplados Dos masas, m1 y m2, están unidas a dos resortes, A y B, de masa insignificante cuyas constantes deresorte son k1 y k2, respectivamente, y los resortes se fijan como se ve en la figura 7.55. Sean x1(t) y x2(t) los desplazamientos verticales de las masas respecto a sus posiciones de equilibrio. Cuandoel sistema está en movimiento, el resorte B queda sometido a alargamiento y a compresión, a la vez; por lo tanto, su alargamiento neto es x2 – x1. Entonces, según la ley de Hooke, vemos que losresortes A y B ejercen las fuerzas –k1x1 y k2(x2 – x1), respectivamente, sobre m1. Si no se aplican fuerzas externas al sistema, y en ausencia de fuerza de amortiguamiento, la fuerza neta sobre m1 es –k1x1+ k2(x2 – x1). De acuerdo con la segunda ley de Newton podemos escribir
 

De igual forma, la fuerza neta ejercida sobre la masa m2 sólo se debe al alargamiento neto de B; esto es, k2(x2 – x1). Enconsecuencia,
 

En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado se representa con el sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas de segundo orden
 
(5)
En el próximo ejemploresolveremos ese sistema suponiendo que k1 = 6, k2 = 4, m1 = 1, m2 = 1, y que las masas parten de sus posiciones de equilibrio con velocidades unitarias opuestas.
 

EJEMPLO 1  Resortes acopladosResuelva (6)
Sujetas a x1(0) = 0, x1'(0) = 1, x2(0) = 0, x2'(0) = 1.
SOLUCIÓN La transformada de Laplace de cada ecuación es
 

Despejamos X1 de las ecuaciones (7) y descomponemos el resultado enfracciones parciales:
 
Por lo tanto 
Sustituimos la expresión de X1(s) en la primera de las ecuaciones (7) y obtenemos
 
Y
Por último, la solución del sistema dado (6) es
 
(8)
Redes eléctricas.Las corrientes i1(t) e i2(t) en la red que contiene un inductor, un resistor y un capacitor (Fig. 7.56) están definidas por el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
 

En el próximo...
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