Aplicaciones De La Transformada De Laplace

CARRERA: INGENIERIA BASICA

MATERIA: MATEMATICAS V

UNIDAD IV

GRUPO: E-1301

CATEDRATICO: Ing. Karina Monserrat Torres Melo.

INTEGRANTES: Marciano Gutiérrez Luna



INVESTIGAR LAS APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES RESUELTAS POR MEDIO DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE
EJEMPLO.-
Otro de los problemas típicos dondese aplican exitosamente las ecuaciones diferenciales son los problemas de manejo de concentración de sustancias en soluciones liquidas. El principal objetivo, consiste en plantear el problema en termino del problema de valores iniciales que gobierna el fenómeno (ecuación diferencial + condiciones iniciales). Para ello, en este tipo de problemas, siempre utilizaremos la regla intuitiva de tasa decambio de la concentración = tasa de ingreso tasa de egreso así, tendremos que para un problema típico en el cual inicialmente se encuentran diluidos en un recipiente (un tanque) y0 gr de una sustancia en v0 litros de un liquido. A este tanque le cae otro líquido con una concentración distinta de la misma sustancia a ventrada lit. /min, mientras que vsalida lit/min salen del tanque. Si suponemosque dentro del tanque sucede algún proceso de homogenización de la solución, la pregunta típica es que queremos saber la cantidad de sustancia que se encuentra en el tanque en un tiempo t: a la concentración de la sustancia en el líquido de entrada (gr/lit), en un tiempo t; la denotaremos como c (t) gr/lit. La figura (3) ilustra este proceso.

EJEMPLO.-
El proceso de diseño del sistema decontrol
* De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.
* Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.
* Para poder diseñar un sistema de controlautomático, se requiere Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la ecuación diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes físicas, químicas y/o eléctricas.
A esta ecuación diferencial se le llama modelo del proceso.
Una vez que se tiene el modelo, se puede diseñar el controlador.

MODELACIÓN MATEMÁTICA
Suspensión de un automóvil

f(t)

z(t)
k
b
mFuerza de entrada
Desplazamiento, salida del sistema

El rol de la transformada de Laplace
Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
Suspensión de un automóvil

Función de transferencia

MODELACIÓN MATEMÁTICA
Circuito eléctrico

Circuito eléctrico

Función de transferencia

EJEMPLO.-
La transformada de Laplace (T.L.) es una aplicación entre espacios de funciones. Suaplicación principal es que reduce las ecuaciones diferenciales lineales con crecientes constantes, en ecuaciones algebraicas lineales. Con lo cual se obtiene un método poderoso, por rápido y eficaz, para resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Además, con la T.L. se resuelven con facilidad ecuaciones diferenciales de coeficientes no constantes en derivadas parciales yecuaciones integrales. Por todo esto, la T.L. es de gran aplicación en los modelos de la técnica.
EJEMPLO.-
En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo. Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso. Elcomportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal: La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales. De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en...