Aplicaciones De Las Derivadas

CÁLCULO DIFERENCIAL

UNIDAD 4
6. Aplicaciones de la derivada

6.1. Máximos y mínimos absolutos
a) En intervalos cerrados Supongamos que la función f es continua en un intervalo cerrado [a; b], entonces alcanza un máximo y un mínimo en dicho intervalo.

El máximo y el mínimo absoluto solamente pueden estar situados: 1. En puntos donde f 0 (x) = 0 2. En puntos donde f 0 (x) no está de nida3. En los extremos del intervalo. Puntos críticos de una función: Se llaman puntos críticos de una función a los puntos en los que la derivada sea nula o no esté de nida. Cálculo del máximo y del mínimo absoluto: Para hallar el máximo y el mínimo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado. 1. Se hallan los puntos críticos. 2. Se halan los valores de la función en los puntos críticosy en los extremos del intervalo. El mayor valor obtenido es el máximo absoluto y el menor el mínimo.

Arenas A.

90

Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos

Cálculo Diferencial

Observación .7 Si la función no es continua el método anterior no es valido, ya que los valores de la función en los puntos críticos no determinan nada. Ejemplo .63 Hallar los extremos absolutos de lafunción f (x) = 2x3 en el intervalo [0; 3]. Solución: 1. Hallamos los puntos críticos: a) Puntos en los que la derivada no está de nida: No existen ya que f 0 (x) = 6x2 12 está de nida en todo R. b) Puntos en los que la derivada vale cero: 6x2 6x 12 = 0 ! x2 x 2 = 0 ! x p 1 1+8 1+3 2 = = = 1 2 2 6x 3x2 12x + 15

2. Comparamos los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos delintervalo: f (0) = 15 Máximo f (2) = 16 12 24 + 15 = 5 Mínimo f (3) = 54 27 36 + 15 = 6 Ejemplo .64 Hallar los extremos absolutos de la función: f (x) = x5 en el intervalo [2; 4] Solución: 1. Hallamos los puntos críticos: a) Puntos en los que la derivada no está de nida: No existen ya que f 0 (x) = 5x4 está de nida en todo R. b) Puntos en los que la derivada vale cero: r 1 1 4 4 5x 1=0 !x = !x= 2[2; 4] = 5 5 Luego no existe ningún punto crítico dentro del intervalo, por tanto: 2. Comparamos los valores de la función en los extremos del intervalo: f (2) = 30 f (4) = 1020 Arenas A. 91 Mínimo Máximo Camargo B. 1 x

6.1 Máximos y mínimos absolutos Ejemplo .65 Hallar los extremos absolutos de la función: f (x) = 3 jx 2j

Cálculo Diferencial

en el intervalo [1; 4] Solución: Para hallar laderivada de la función eliminamos el valor absoluto, f (x) = 3 jx 2j = 3 (x 2) si x 2 = 3 ( x + 1) si x < 2 5 x 1+x si x 2 si x < 2

Con lo cual, la función derivada es: f 0 (x) = 1. Hallamos los puntos críticos: a) Puntos en los que la derivada no está de nida: x = 2 b) Puntos en los que la derivada vale cero: No existen. 2. Comparamos los valores de la función en los puntos críticos y en losextremos del intervalo: f (1) = 2 f (2) = 3 Máximo f (4) = 1 Mínimo b) Máximos y mínimos absolutos en intervalos abiertos Para hallar el máximo y el mínimo de una función continua en un intervalo abierto se “cierra” el intervalo hallando los límites de la función en los extremos del mismo. Ejemplo .66 Hallar los extremos absolutos de la función: f (x) = Solución: Hallamos la derivada de lafunción, f 0 (x) = 2x3 + 2x 2x3 2x 2x (x2 + 1) x2 2x = = 2 + 1)2 2 + 1)2 2 + 1)2 (x (x (x x2 en todo R. x2 + 1 1 si x > 2 1 si x < 2

1. Hallamos los puntos críticos: a) Puntos en los que la derivada no está de nida: No existen. b) Puntos en los que la derivada vale cero: 2x = 0 ! x = 0.

2. Comparamos los valores de la función en los puntos críticos y en los “extremos” del intervalo:

Arenas A.92

Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos

Cálculo Diferencial

y=

x2 x2 + 1

f ( 1) =

x2 =1 x ! 1 x2 + 1 f (0) = 0 ! Mínimo x2 f (+1) = lm 2 = 1 Luego la función no tiene máximo x !+1 x + 1 lm

6.1.1.

Máximos y mínimos relativos o locales Una función es creciente allí donde su derivada es positiva y 0 =) f es creciente en (a; b) 0 =) f es decreciente en (a; b)...