Aplicaciones de las integrales

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MATEMATICA II Conferencia # 6 Actividad # 15 Título: Aplicaciones de la integral definida. Sumario: 1. Introducción. 2. Área de regiones planas. 3. Volúmenes de sólidos de revolución. 4. Longitud de arco de una curva plana. 5. Trabajo realizado por una fuerza variable. Observación: Son muchas las aplicaciones de la integral definida referidas en el texto CTT. En esta clase se tratarán sólo 4de ellas por dos razones: Un problema elemental del tiempo necesario para una exposición comprensible y detallada. La necesidad de tributar al modelo de enseñanza centrada en el aprendizaje que propiciará el hecho de que el alumno busque por sí mismo el resto de estas aplicaciones. Como en este momento todavía el alumno no ha visto el tema de Geometría Analítica sugerimos no entrar en el volumende sólidos cualesquiera, sino, sólo los de revolución. Aunque son aplicaciones válidas, no aconsejamos tratar el flujo sanguíneo y el gasto cardiaco por estar alejadas de los contenidos y objetivos de la carrera. Quedarían entonces para que los alumnos investiguen las siguientes aplicaciones de la integral definida: Área de una superficie de revolución. Momentos y centro de masa. Superávit delconsumidor. Para la clase práctica correspondiente se les orientará que se estudien la materia por la bibliografía correspondiente y se les dejarán como autoestudio algunos ejercicios para que los resuelvan como tarea extraclase. Objetivos: Con el estudio detallado de la materia correspondiente a esta conferencia y siguiendo las orientaciones dadas al final de la misma el estudiante debe: Conocer einterpretar las aplicaciones de la integral definida al cálculo de: Área de regiones planas Volúmenes de sólidos de revolución Longitud de arco de una curva plana Trabajo realizado por una fuerza variable para mover una partícula en línea recta. Introducción: En esta conferencia se verán aplicaciones de la integral definida a distintas situaciones. Es necesario para ello recordar la definición deintegral definida y los teoremas fundamentales que permiten su evaluación junto con los métodos de integración estudiados. Como al definir la integral se hace uso de la interpretación geométrica, se comienza con recordar el uso de la integral para el cálculo del área de una región plana limitada por una curva y=f(x) y las rectas x=a, x=b y y=0. Desarrollo: Cálculo de áreas de regiones planas. Unavez recordada la forma de calcular el área bajo una curva es muy fácil introducir el concepto de área entre curvas y su cálculo. A diferencia del libro de texto CTT donde, en las pág. 433 y 434, se vuelve a hacer un análisis de las sumas parciales, proponemos darle un enfoque más intuitivo a través de gráficos como el siguiente:

2

y=f(x) R y=g(x) a b a

y=f(x)

=

_
b a

y=g(x) R2 bR1

donde, de manera simbólica, planteamos la idea general de cómo resolver el problema: A = A1 - A2 y llegar así al cuadro de la pág. 434 del texto. A continuación podemos ver esto aplicado a un ejemplo que puede ser similar al que aparece en esa misma página. Todavía no se tiene la fórmula definitiva por lo que se debe ejemplificar de forma gráfica las distintas situaciones (curvas pordebajo del eje X, curvas que se cruzan) que se presentan hasta llegar al cuadro del final de la página 436. Se debe hacer una breve referencia a la adaptación de la fórmula a los casos donde las funciones aparezcan en la forma x = f(y); x = g(y) explicando la conveniencia de este enfoque para situaciones como la que aparece en la pág. 437, fig. 13. En la preparación de la clase debe consultarsetambién Krasnov, pág. 547 a 556. Para la preparación de este tema pueden servir las notas de la clase teórico práctica # 3 impartida en el curso anterior, adaptándolas al nuevo texto, y que incluimos a continuación: Nota: En los ejemplos de cálculo que se exponen a continuación de cada tópico pueden auxiliarse de DERIVE para graficar las regiones correspondientes. Analizaremos mediante ejemplos los...