Aplicaciones de las transformaciones lineales

Se aplican en sistemas de ecuaciones lineales, en matrices y en un sin número de problemas, gracias a las transformaciones lineales sabemos el dominio e imagen y teniendoesto saber si es un espacio vectorial.

Ejemplo 142Dada la transformación lineal

Determinar todos los espacios propios asociados a
sabiendo que
son los únicos valorespropios.

Solución: Determinemos el espacio propio asociado al valor propio

V2 = { (x;y)/T(x;y)=2(x;y)}

= {(x;y)/(x+y;3x-y)=2(x;y)}

= {(x;y)/(-x+y;3x-3y)=(0;0)}= {(x;y)/-x+y=0

=

Para el otro valor propio procedemos de manera similar

V-2 = {(x;y)/T(x;y)=-2(x;y)}

= {(x;y)/(x+y;3x-y)=-2(x;y)}

={(x;y)/(3x+y;3x+y)=(0;0)}

= {(x;y)/3x+y=0}

=

Ejemplo Sean

bases de
y
una transformación lineal tal que

Demostrar que
es un isomorfismo, sin explicitar

Solución: Parademostrar que
es un isomorfismo, basta celular el determinante de
y comprobar que es distinto de

Calculemos

por lo tanto la matriz es invertible, luego
es unisomorfismo.
Para explicitar la transformación inversa, tenemos

Reemplazando obtenemos

Necesitamos determinar las coordenadas de
en la base
.

igualandocoordenadas obtenemos el sistema de ecuaciones lineales

resolviendo el sistema mediante la matriz, tenemos

Así
luego

[T-1(x;y;z)]b = ( -1 -2 0)74x+14y-54z( -8 -13 1)14y-54x+34z
( -11 -18 1) 14z+14x-14y

[T(x;y;z)]D = ( 34x-34y-14z) (a')
( 52x-112y+12z)=(b')( 72x-152y+12z) (c')

Con lo cual obtenemos
T-1(x;y;z) = a'(1;1;-1)+b'(0;2;-1)+c'(1;0;1)
T-1(x;y;z) = (174x-334y+14z;234x-474y+34z;14x-54y+14z )