aplicaciones de matrices

Una Ecuacion Algebraica Lineal es aquella en donde en cada término de la ecuación aparece únicamente una variable o incógnita elevada a la primera potencia. Por ejemplo:
a 11 X1 + a 12 X2 + a 13 X3 + ... + a 1n Xn = C1
 
 
(1)
Es una ecuación algebraica lineal en las variables X1, X2, X3, ... , Xn. Se admite que los coeficientes a11, a12, a13, ... , a1n y el término independiente C1, sonconstantes reales.
 
 Un Sistema De Ecuaciones Lineales Algebraicas es un conjunto de ecuaciones que deben resolverse simultáneamente. En lo sucesivo se considerarán únicamente sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, o sea conjuntos de ecuaciones de la forma:
a11 X 1 + a 12 X2 + a13 X 3 +... + a 1n X n = C 1
 
(a)
 
a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 +... + a 2n X n = C 2
 
(b)
 
(2)a n1 X 1 + a n2 X 2 + a n3 X 3 + ... + a nn X n = C n
 
(c)
 
 
Este sistema de ecuaciones puede escribirse simbólicamente como:
A X = C
 

en donde A se llama Matriz del Sistema. La matriz formada por A, a la que se le ha agregado el vector de términos independientes como última columna, se le llama la Matriz Ampliada del Sistema, que se representa con (A, C).
Entonces la matriz ampliadaserá:

 
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSSIANA.
El primer método que se presenta usualmente en álgebra, para la solución de ecuaciones algebricas lineales simultáneas, es aquel en el que se eliminan las incógnitas mediante la combinación de las ecuaciones. Este método se conoce como Método De Eliminación. Se denomina Eliminación Gaussiana si en el proceso de eliminación se utiliza el esquemaparticular atribuido a gauss.
 
Utilizando el método de Gauss, un conjunto de "n" ecuaciones con "n" incógnitas se reduce a un Sistema Triangular Equivalente (un sistema equivalente es un sistema que tiene iguales valores de la solución), que a su vez se resuelve fácilmente por Sustitución Inversa; un procedimiento simple que se ilustrará con la presentación siguiente.
 
El esquema de Gauss empiezareduciendo un conjunto de ecuaciones simultáneas, tal como se muestra, a un Sistema Triangular Equivalente como:

 
En el cual los superíndices indican los nuevos coeficientes que se forman en el proceso de reducción. La reducción real se logra de la siguiente manera:
 
1) La primera ecuación se divide entre el coeficiente de X1 en esa ecuación para obtener:
 

 
2) La ecuacion semultiplica entonces por el coeficiente de X1 de la segunda ecuación y la ecuación que resulta se resta de la misma, eliminando así X1. La ecuacion obtenida se multiplica entonces por el coeficiente de X1 de la tercera ecuación  y la ecuación resultante se resta de la misma para eliminar X1 de esa ecuación. En forma similar, x1 se elimina de todas las ecuaciones del conjunto excepto la primera, de maneraque el conjunto adopta la forma:
 

 
3) La ecuación utilizada para eliminar las incógnitas en las ecuaciones que la siguen se denomina Ecuación Pivote. En la ecuación pivote, el coeficiente de la incógnita que se va a eliminar de las ecuaciones que la siguen se denomina el Coeficiente Pivote.
 
4) Siguiendo los pasos anteriores, la segunda ecuación se convierte en la Ecuación Pivote, y lospasos de la parte 1 se repiten para eliminar X2 de todas las ecuaciones que siguen a esta ecuación pivote. Esta reducción nos conduce a:
 

 
5) A continuación se utiliza la tercer ecuación como ecuación pivote, y se usa el procedimiento descrito para eliminar X3 de todas las ecuaciones que siguen a la tercer ecuación. Este procedimiento, utilizando diferentes ecuaciones pivote, se continúahasta que el conjunto original de ecuaciones ha sido reducido a un conjunto triangular tal como se muestra en la ecuacion.
 
6) Una vez obtenido el conjunto triangular de ecuaciones, la última ecuación de este conjunto equivalente suministra directamente el valor de Xn. Este valor se sustituye entonces en la antepenúltima ecuación del conjunto triangular para obtener un valor de Xn-1, que a su...