Aplicaciones de Teoremas de derivadas

Instituto de Educación Superior “Simón Bolívar”
Profesorado de educación secundaria en matemática









Trabajo Práctico:
Propiedades y teoremas sobre derivadas









Asignatura: Problemáticas del Análisis Matemático I

Titular de cátedra: José Conforte

Alumnas:
Cavina, Jessica Anabel
Donati, Sofía Anahí

Córdoba 29 de Octubre de 2013
Índice:


ÍndiceActividades

Respuestas:
1.- Signo de la derivada primera

2.- Extremos de una función

3.- Propiedades de funciones derivables

4.- Teorema del valor medio del cálculo diferencial

5.- Teorema de Cauchy

Bibliografía

WebgrafíaPág. 02

Pág. 03


Pág. 04

Pág. 05

Pág. 06

Pág. 07


Pág. 09

Pág. 11

Pág. 11


































Actividades:

1.- Signo de la derivada primera:
a. Revisar la definición (ya estudiada) de función creciente y decreciente en un punto y en un intervalo del dominio.
b. Enunciar simbólicamente la propiedad.
c. Demostrarla propiedad.

2.- Extremos de una función:
a. Obtener con Geogebra una función continua y derivable en todos los reales (por ejemplo una función polinómica). Trazar la recta tangente a la curva que pueda moverse sobre ella y verificar el cumplimiento de la condición necesaria enunciada anteriormente.
b. Demostrar la condición necesaria (por el absurdo).

3.- Propiedades de funcionesderivables:
a. Verificar el Teorema de Rolle utilizando Geogebra.
b. Estudiar la demostración del Teorema.

4.- Teorema del valor medio del cálculo diferencial:
a. Verificar el Teorema del valor medio utilizando Geogebra.
b. Estudiar la demostración del Teorema.

5.- Teorema generalizado del valor medio o Teorema de Cauchy:
a. Verificar el Teorema del valor medio generalizado utilizando Geogebra.b. Estudiar la demostración del Teorema.



























Respuestas:

1.- Signo de la derivada primera:

Función Creciente: “Una función es creciente en un intervalo [a; b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 x2, se verifica que ”



Función Decreciente: “Una función es decreciente en un intervalo [a; b] si altomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 x2, se verifica que ”



Demostración:
Teorema 1: Si el punto es interior al dominio de la función y tiene derivada finita y positiva en , entonces existe un entorno reducido del punto en el cual se verifica:


Por hipótesis,

Por la propiedad de límite finito “si dos funciones f y g están definidas en el mismoconjunto D con limites l ylrespectivamenteen el punto de acumulación y ll, entonces existe un entorno reducido del punto donde ”, existe un entorno reducido del punto donde tiene el mismo signo que su límite.
Es decir.

Para que el cociente indicado sea positivo en el entorno considerado, es necesario y suficiente que el numerador y el denominador tengan el mismo signo.
Es decir, si eldenominador es un numero positivo, entonces el numerador es también un numero positivo (*. La otra posibilidad es que denominador y numerador sean ambos negativos (**.
De * y ** resulta: que es la tesis.

Teorema 2: Si el punto es interior al dominio de la función y tiene derivada finita y negativa en , entonces existe un entorno reducido del punto en el cual se verifica:


Lademostración es análoga a la anterior.













2.- Una vez realizada la función en Geogebra, podemos verificar que se cumple la condición necesaria de la propiedad de la función creciente que recita:

Si tiene una derivada finita en el punto y alcanza un máximo y mínimo local en el punto , interior al dominio de , entonces .

Demostración: Como por hipótesis existe un número...