Aplicaciones del calculo diferencial

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4.3. APRENDIZAJE DE CONCEPTOS Y APLICACIÓNES DE LA DERIVADA.

En esta unidad hablaremos de la primera derivada para analizar el comportamiento de familias de funciones.

Se determinará a partir de los puntos críticos, los máximos y mínimos de una función, aplicando el método de la primera y segunda derivada y con ellos revolveremos problemas del campo de optimización.

USO DE LA PRIMERADERIVADA.

¿Porque es útil saber donde una función es creciente o decreciente?
Cuando se grafica una función en una computadora o calculadora de gráficas, sólo se observa parte de la figura. En cambio la derivada, puede muchas veces dirigir nuestra atención a características importantes de la gráfica ya que con ella podemos trazar la grafica de una forma mas completa.

PUNTOS CRITICOS.

Paracualquier función [pic], un punto p en el dominio de [pic] en donde [pic] ó [pic] no está definida se llama punto crítico de la función. Además, el Punto [pic] en la gráfica de [pic] también se llama punto crítico. Un valor crítico de [pic] es el valor [pic] de la función en un punto crítico p.

¿QUÉ INDICAN LOS PUNTOS CRITICOS?

Geométricamente, en un punto crítico donde [pic], la rectatangente a la gráfica de [pic]en [pic] es horizontal. En un punto crítico donde [pic] no está definido, no hay tangente horizontal a la gráfica, es decir, ó la tangente es vertical ó no existe en absoluto.

Una función puede tener cualquier número de puntos críticos o ninguno (ver figuras)

Los puntos donde [pic] ó donde no está definida dividen el dominio de [pic] en intervalos en los que el signode la derivada permanece igual, ya sea positivo o negativo. Por lo tanto, entre dos puntos críticos sucesivos la gráfica de una función no puede cambiar de dirección; ó sube ó baja.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES.

¿Qué le pasa a una función cerca del punto crítico donde [pic]? Si [pic] tiene signos diferentes en cualquier lado de p entonces la gráfica cambia de dirección.

¿CÓMO SABER CUALESPUNTOS CRITICOS SON MAXIMOS Y MINIMOS LOCALES?

Prueba de la primera derivada para máximos y mínimos locales:

➢ Si p es un punto crítico en el dominio de [pic], y si [pic] cambia signo en un entorno de p, entonces [pic] tiene ya sea un mínimo local o un máximo local en p.

← Si [pic] es negativa a la izquierda de p y positiva a la derecha de p, entonces f tiene un mínimo local en p.← Si [pic] es positiva a la izquierda de p y negativa a la derecha de p, entonces f tiene un máximo local en p.

EJEMPLO 1: Construcción de una caja de máximo volumen

No olvides los pasos a seguir:

1. Lee el problema hasta comprender lo que se pide.
2. Realiza el dibujo.
3. Construye el modelo.
4. Calcula máximos y mínimos.

Y analizar las siguientescuestiones:

a) ¿Qué es lo que te pide el problema?.
b) ¿Cuáles son las dimensiones de largo, ancho y alto de la caja?( puedes utilizar incógnitas).
c) ¿Cuál es la ecuación con la que se va a obtener el máximo ó mínimo?.
d) Deriva la función del inciso anterior. ¿Cuáles son los puntos críticos?.
e) De acuerdo a los puntos críticos, qué valor corresponde al máximo (de sernecesario utiliza el criterio de la segunda derivada).

PONIENDO EN PRÁCTICA LOS CONOCIMIENTOS.

Usa los conceptos matemáticos aprendidos para efectuar una o todas las actividades siguientes:

Diseño de una caja de cartón de máximo volumen sin tapa.

Materiales:

Cartulina de 20 cm. X 20 cm.
Tijeras
Regla
Escuadras
Calculadora
Hojas cuadriculadas o equipo de dibujo
Cinta adhesiva(masking- tape)

ENUNCIADO DEL PROBLEMA:

En esta actividad examinamos el volumen de las diferentes cajas que se pueden construir a partir de un material del mismo tamaño.

PROCEDIMIENTO:

a) Tomando la cartulina de 20 cm. X 20 cm. Recorta cuadros en las esquinas como se muestra en la siguiente figura; después de que tu profesor asigne las medidas de “x” a cada equipo....
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