Aplicaciones Derivadas y Sus Graficas

El modelo mas sencillo para resolver ese tipo de problemas es mediante la ley de enfriamiento Newtoniano. Sea "T(t)" la funcion que determina la temperatura de un cuerpo (en nuestro caso la taza decafe) a un tiempo "t" determinado, tenemos

T´(t) = -k.T(t)

con "k" una constante de proporcionalidad. Dado que la tasa esta en contacto con un medio de temperatura diferente a la inicial, sesuele re-escribir la ecuacion como:

T´(t) = -k.[ T(t) - Th ]

donde "Th" es la temperatura de la habitacion. La condicion de borde que tenemos es que:

T(2) = 80

donde t=2 corresponde a los 2minutos y 80 a los 80ºC. Las unidades se han omitido por cuestiones de simplificar la notacion. Esto es lo que pide el primer punto del problema, pasemos a resolver la ecuacion diferencial. Como T´(t) =-k.[ T(t) - Th ] no tiene potencias en la variable T(t) (ni en sus derivadas) entonces la solucion total sera la solucion del sistema homogeneo y la particular. Resolvamos entonces el sistemahomogeneo asociado:

T´(t) = -k.T(t)

Podemos escribir T´(t) = dT(t) / dt y luego "pasar" el diferencial dt al otro miembro. Juntando todo lo que tenga T(t) en un solo miembro.

dT(t) / T(t) = -k dtAhora podemos integrar en un "t₀" arbitrario y un tiempo "t":

T(t) ................ t
∫ dT(t) / T(t) = ∫ -k dt
T(t₀).............. t₀

Sabemos que la integral de dT / T es Ln[T]. Ademas lasegunda integral es trivial ya que no depende del tiempo. Entonces:

Ln[ T(t) ] - Ln[ T(t₀) ] = -k ( t - t₀ )

Podemos renombrar a las constantes Ln[ T(t₀) ] + k.t₀ como "a" (recordemos que t₀ es unparametro fijo). Luego:

Ln[ T(t) ] = -k.t + a

Entonces:

T(t)_homogeneo = A.e^(-k.t)

donde hemos renombrado e^(a) como A (que tiene todas las constantes t₀). Hemos encontrado entonces lasolucion del sistema homeneo, nos queda la particular:

T´(t) = -k.[ T(t) - Th ]

Basta proponer:

T_particular = Th

donde se ve que esta solucion no depende del tiempo (Th es fijo). Sumando...