Aplicaciones Fisicas Calculo Vectorial

CALCULO VECTORIAL

* FORMULAS DE FRENET-SERRET.
* EL ALABEO.
* VECTOR TORSION.
Definición, ejemplos numéricos y graficas.
12/11/2012
INSTITUTO TECNOLOGICO DE MATAMOROS.
INGENIERIA INDUSTRIAL
Prof. José Guadalupe García Castillo.
Maleny Iveth Vela Domínguez.

FORMULAS DE FRENET-SERRET

Consideremos los siguientes vectoresque representan las derivadas respecto de la variable longitud de arco. Cada uno de estos vectores satisface lo siguiente.

puesto que

Por otro lado, cada uno de estos vectores en (1) deben ser combinación lineal de la base (base que a menudo se llama triedro de Frenet), esto esA partir de estas hipótesis vamos a probar las llamadas fórmulas de Frenet, que son las siguientes

donde los valores  y  son funciones del parámetro s.
Veamos la demostración de las fórmulas en (4), que no es nada más que encontrar los valores de aij del sistema de ecuaciones en (3).
Sabemos que


esdecir 


lo que se deduce, observando la primera ecuación de (3), que a11 = a13 = 0, y además

A  este coeficiente le llamaremos coeficiente de curvatura o simplemente curvatura. De tal modo que

Ahora vamos a demostrar las dos últimas fórmulas de (4). Multipliquemos por el producto punto las dos últimas ecuaciones de (4) por el vector normal y binormal, respectivamente. Obtenemos que

de modo que a22 = a33 = 0. Ahora derivemos respecto de s la igualdad

y obtenemos

Al coeficiente a23 le llamaremos coeficiente de torsión y lo denotaremos por a23 = ( s ), y de paso, en virtud dela tercera ecuación en (3), hemos encontrado que a31 = 0 y a32 = - a23 = -( s ). Con esto hemos demostrado la tercera fórmula de Frenet
Notemos que solo nos falta determinar el coeficiente a21. Vamos a derivar respecto de s la igualdad

Entonces


Por lo tanto a21 = - ( s ). De tal modo que, en virtud de la segunda ecuación de (3),nos queda que

EL ALABEO

alabeo unitario o alabeo seccional es una función ω(y,z) que predice la forma deformada de la sección transversal de un prisma mecánico y que define varias características geométricas importantes relacionadas con el cálculo de tensiones en caso de flexión, torsión y cortante combinados. [Este alabeo unitario tiene dimensiones de longitud alcuadrado (L2)].
ECUACION DE ALABEO UNITARIO

Para un prisma mecánico de sección constante A, el alabeo unitario es una función  definida sobre dicha sección transversal, que es solución del siguiente problema de Von Neumann:

Donde:
 es la longitud a lo largo del contorno de la pieza y  la normal exterior al mismo.
 son las coordenadas del centro de cortante.

Deducción de la ecuación dealabeo

En el problema de torsión pura de Saint-Venant para una pieza prismática la hipótesis cinemática lleva a que los desplazamientos están relacionados con los giros del eje baricéntrico alrededor de sí mismo por la siguiente condición:

Calculando a partir de ellos las deformaciones y aplicando después las ecuaciones de Lamé-Hooke se llega a que la relación entre tensiones y giros sobreel eje son:

El equilibrio de fuerzas sobre el eje longitudinal de la pieza prismática o viga requiere que:


EJEMPLOS DE ALABEOS SECCIONALES
En general si una sección no es circular o circular hueca presentará alabeo seccional diferente de cero. Esto puede probarse rigurosamente calculando el alabeo seccional de una sección elíptica, que depende de la diferencia de cuadrados de las...