aplicaciones integral

Aplicaciones geom´
etricas de la integral
G.Bobadilla A.

4 de noviembre 2009

C´
alculo de ´
areas de regiones planas
b

En coordenadas rectangulares:

A=

|f (x)|dx

a

En coordenadas polares:
Encoordenadas param´etricas:

A=

1
2

θf

r2 (θ)dθ
θ0
tf

y(t)x′ (t)dt, v´alida cuando y es funci´
on de x en el intervalo [t0 , tf ]

A=
t0

A=

1
2

tf
t0

(x y ′ (t) − y x′ (t) dt.

1. Calcular el ´area de la regi´
on comprendida entre y = sen x , el eje X, las rectas x = 0 y
x = 2π.
2. Calcular el ´
area encerrada entre las dos circunferencias: x2 + y 2 = 4 y x2 + y 2 = 4x.
x(t) = 4a cos t
√y(t) = a 2 sen t cos t;

3. Calcular el ´
area encerrada por la curva c :
√
8 2a2
.
R:
3

4. Graficar la curva C y calcular encerrada por ella. C :

t ∈ [0, 2π].

x(t) = 3 cos t
y(t) = 2 sen t;

t ∈ [0,2π]

R: 6π.

5. Calcular el ´
area encerrada por un p´etalo de la curva r(θ) = 1 + sen 2θ.
3π
.
R:
4
6. Encuentre el ´
area de la regi´
on encerrada por r = cos θ y que se encuentre fuera de r =1−cos θ.
√
π
R: 3 − .
3
Longitudes de curvas
b

Si y = f (x), x ∈ [a, b], su longitud es

L=

Si C est´
a parametrizada (x(t), y(t)) , t ∈ [t0 , tf ] , su longitud es

L=

Si la curva est´
a en coordenadaspolares , r = r(θ),

L=

1 + [f ′ (x)]2 dx
a
tf
t0
θf

a) y = x3/2 , con x ∈ [1, 2]
b) y = x2/3 , con x ∈ [0, 1]
ex + e−x
c) y =
, con x ∈ [0, b]
2
ln x
d ) y = x2 /2 −
, con x ∈ [2, 3]
4
e) x(t) =cos3 t, y(t) = sin3 t y x ∈ [0, π/2]
f ) r(θ) = eθ , θ ∈ [0, 2π]
1

2

r2 (θ) +
θ0

1. Calcular la longitud de las siguientes curvas :

dy
dt

+

dx
dt
dr
dθ

2

dt

2

dθ

Vol´
umenes de revoluci´
onCon respecto al eje X
b

M´etodo de los discos:

[f (x)]2 dx.

V =π
a

Con respecto al eje Y

b

M´etodo de los cilindros : V = 2π
a

|L − x||f (x) − g(x)|dx.

Calcular el volumen del s´olido formadoal girar la regi´on dada R, alrededor del eje dado:
√
1. R est´
a delimitada por y = x, x = 1, x = 2 y el eje x, alrededor del eje x.
1
2. R est´
a delimitada por y = √
, x = 0, x = 1 y el eje x,...